Speciális lineáris csoportnak nevezzük és -val (néha -val) jelöljük a test feletti -es, 1 determinánsú mátrixok multiplikatív csoportját. Értelemszerűen elemei felfoghatóak a fölötti n dimenziós vektortér transzformációiként, és részcsoportja a általános lineáris csoportnak. Amennyiben véges test, helyett gyakran -t írunk, ahol jelöli a test elemszámát (ilyenkor persze prímhatvány).
- a sík terület- és irányítástartó lineáris transzformációinak a csoportja.
- a háromelemű test fölötti, 1 determinánsú -es mátrixok csoportja.
Az alábbi ábra az csoport szorzótáblája. A zöld, piros és üres körök a háromelemű test elemeit reprezentálják: az üres kör jelöli nullelemet, a zöld az egységelemet, a piros pedig a 2=-1 elemet. A kis kétszer kettes kockák a háromelemű test feletti 1 detetminánsú -es mátrixok, magának a csoportnak az elemei. Látható, hogy az rendje 24. A háttérszínek jelzik az egyes elemek rendjét:
- sötétszürke: 1
- világosszürke: 2
- sárga: 3
- kék: 4
- fehér: 6
Néhány konkrét véges speciális lineáris csoport[szerkesztés]
Alaptest rendje |
Mátrixok rendje |
Csoport szokásos elnevezése |
Csoport rendje
|
|
1 |
triviális csoport |
|
2 |
2 |
, harmadfokú szimmetrikus csoport |
|
3 |
2 |
speciális lineáris csoport |
|
4 |
2 |
alternáló csoport |
|
5 |
2 |
speciális lineáris csoport |
|
2 |
3 |
általános lineáris csoport |
|
A véges speciális lineáris csoportok rendje[szerkesztés]
elemszámának meghatározásához azt kell meggondolni, hogy az a leképezés, amely elemeihez a determinánsukat rendeli, homomorfizmus az általános lineáris csoportból a q elemű test nemnulla elemeinek szorzáscsoportjába, amely q-1 elemű. Ennek a homomorfizmusnak éppen a magja. Épp ezért
Az általános lineáris csoport elemszáma viszont ismert:
és így
- .