Szedéniók

Az absztrakt algebra területén a szedéniók (${\displaystyle \mathbb {S} }$) egy 16-dimenziós nemkommutatív és nemasszociatív algebra a valós számok felett, általában az S nagybetűvel, vastag S-sel vagy táblázatos vastag betűvel ${\displaystyle \mathbb {S} }$ ábrázolva. Ezeket az oktoniókra alkalmazott Cayley–Dickson konstrukció eredményeként kapjuk, és mint ilyen, az októniók izomorf egy részalgebrájával a sedenióknak. A sedeniók nem alternatív algebra, ellentétben az oktoniókkal. A Cayley–Dickson konstrukció alkalmazása a szedéniókra egy 32-dimenziós algebrát eredményez, néha 32-ionoknak vagy trigintaduonióknak nevezik.^[1] Lehetséges folytatni a Cayley–Dickson konstrukció alkalmazását tetszőleges számú alkalommal.

A szedénió kifejezést más 16-dimenziós algebrai struktúrákra is használják, például két bikvaternió második hatványának tenzorszorzatára, vagy a valós számok feletti 4 × 4 mátrixok algebrájára, vagy Smith (1995) által tanulmányozottakra.

Aritmetrika

Az októniókhoz hasonlóan a szedéniók szorzása sem kommutatív, sem asszociatív. De az októniókkal ellentétben a szedénióknak még az a tulajdonságuk sincs meg, hogy alternatívak lennének. Mindazonáltal rendelkeznek a hatvány asszociativitásának tulajdonságával , amely így is kijelenthető bármely x elemre ${\displaystyle \mathbb {S} }$, a hatványozás ${\displaystyle x^{n}}$ jól meghatározott.

Minden szedénió az egységszedéniók lineáris kombinációja ${\displaystyle e_{0}}$, ${\displaystyle e_{1}}$, ${\displaystyle e_{2}}$, ${\displaystyle e_{3}}$,..., ${\displaystyle e_{15}}$, amelyek a szedéniók vektorterének alapját képezik. Minden szedénió ábrázolható ebben a formában.

Kvaternió szubalgebrák

Azok a 35 triádok, amelyek alkotják ezt a konkrét szedéniószorzótáblát a Cayley–Dickson-konstrukció során használt oktávionok 7 triádjával, amelyek segítségével létrehozzák a szedéniót, ezek vannak itt félkövérrel kiemelve:

Ezen triádok indexeinek bináris reprezentációi bitenkénti kizáró vagy (XOR) művelettel 0-ra redukálódnak.

{ {1, 2, 3}, {1, 4, 5}, {1, 7, 6}, {1, 8, 9}, {1, 11, 10}, {1, 13, 12}, {1, 14, 15},

{2, 4, 6}, {2, 5, 7}, {2, 8, 10}, {2, 9, 11}, {2, 14, 12}, {2, 15, 13}, {3, 4, 7},

{3, 6, 5}, {3, 8, 11}, {3, 10, 9}, {3, 13, 14}, {3, 15, 12}, {4, 8, 12}, {4, 9, 13},

{4, 10, 14}, {4, 11, 15}, {5, 8, 13}, {5, 10, 15}, {5, 12, 9}, {5, 14, 11}, {6, 8, 14},

{6, 11, 13}, {6, 12, 10}, {6, 15, 9}, {7, 8, 15}, {7, 9, 14}, {7, 12, 11}, {7, 13, 10} }

Jegyzetek

1. Raoul E. Cawagas, et al. (2009). "THE BASIC SUBALGEBRA STRUCTURE OF THE CAYLEY-DICKSON ALGEBRA OF DIMENSION 32 (TRIGINTADUONIONS)".

Források

• R. Guillermo Moreno (1997): The zero divisors of the Cayley-Dickson algebras over the real numbers, https://arxiv.org/abs/q-alg/9710013

• Matematikaportál • összefoglaló, színes tartalomajánló lap