Szokatlan számok

A számelmélet területén a szokatlan számok (unusual numbers) olyan n természetes számok, melyek legnagyobb prímtényezője nagyobb mint ${\displaystyle {\sqrt {n}}}$ (A064052 sorozat az OEIS-ben). Az összes prímszám szokatlan szám.

Egy k-sima szám összes prímtényezője kisebb vagy egyenlő k-nál, ezért egy szokatlan szám nem-${\displaystyle {\sqrt {n}}}$-sima, vagyis ${\displaystyle {\sqrt {n}}}$-durva.

Az első néhány szokatlan szám: 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 14, 15, 17, 19, 20, 21, 22, 23, 26, 28, 29, 31, 33, 34, 35, 37, 38, 39, 41, 42, 43, 44, 46, 47, 51, 52, 53, 55, 57, 58, 59, 61, 62, 65, 66, 67...

Az első néhány nem prím szokatlan szám: 6, 10, 14, 15, 20, 21, 22, 26, 28, 33, 34, 35, 38, 39, 42, 44, 46, 51, 52, 55, 57, 58, 62, 65, 66, 68, 69, 74, 76, 77, 78, 82, 85, 86, 87, 88, 91, 92, 93, 94, 95, 99, 102...

Gyakoriságuk

Bármely p prímszámot tekintve p²-nél kisebb többszörösei – p, ... (p-1)p – szokatlan számok, melyek sűrűsége a (p,p²) intervallumban tehát éppen 1/p.

Ha az n-nél kisebb vagy egyenlő szokatlan számok számot u(n)-nel jelöljük, akkor u(n) a következőképp viselkedik:

n	u(n)	u(n) / n
10	6	0,6
100	67	0,67
1000	715	0,715
10000	7319	0,7319
100000	70128	0,70128

Richard Schroeppel 1972-es megfigyelése^[1] szerint annak az aszimptotikus valószínűsége, hogy egy véletlenszerűen kiválasztott természetes szám szokatlan, ln(2). Vagyis::

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {u(n)}{n}}=\ln(2)=0,693147\dots \,.}$

Szokásos számok

A szokatlan számok végső soron nem is annyira „szokatlanok” (értsd: ritkák).^[2][3] A nem szokatlan természetes számokat nevezhetjük szokásos számoknak. Az első néhány szokásos szám: 8, 12, 16, 18, 24, 27, 30, ... (A063539 sorozat az OEIS-ben)

Jegyzetek

1. Schroeppel, R. Item 29 in Beeler, M.; Gosper, R. W.; and Schroeppel, R. HAKMEM. Cambridge, MA: MIT Artificial Intelligence Laboratory, Memo AIM-239, p. 13, Feb. 1972.
2. Greene, D. H. and Knuth, D. E. Mathematics for the Analysis of Algorithms, 3rd ed. Boston, MA: Birkhäuser, pp. 95-98, 1990.
3. Finch, S. "RE: Unusual Numbers." 27 Aug 2001

További információk

• Weisstein, Eric W.: Rough Number (angol nyelven). Wolfram MathWorld