Teljes várható érték tétele

A teljes várható érték tétele a valószínűségszámításban azt mondja ki, hogy ha ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {E} (X)}$ várható értékű valószínűségi változó, és ${\displaystyle Y}$ valószínűségi változó, akkor

${\displaystyle \operatorname {E} (X)=\operatorname {E} (\operatorname {E} (X\mid Y)),}$

azaz ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$-ra vett feltételes várható értéke megegyezik ${\displaystyle X}$ várható értékével.

Speciálisan, ha ${\displaystyle {\left\{A_{i}\right\}}_{i}}$ véges, vagy legfeljebb megszámlálható partíciója a valószínűségi mezőnek, akkor

${\displaystyle \operatorname {E} (X)=\sum _{i}{\operatorname {E} (X\mid A_{i})\operatorname {P} (A_{i})}.}$

Példa

Tegyük fel, hogy két gyár villanykörtéket állít elő! Az ${\displaystyle X}$ gyár termékei átlagosan 5000, az ${\displaystyle Y}$ gyáréi átlagosan 4000 órán át működnek. Az ${\displaystyle X}$ gyár állítja elő az összes villanykörte 60%-át. Mennyi egy villanykörte várható élettartama?

A teljes várható érték tételével:

${\displaystyle \operatorname {E} (L)=\operatorname {E} (L\mid X)\operatorname {P} (X)+\operatorname {E} (L\mid Y)\operatorname {P} (Y)=5000(0,6)+4000(0,4)=4600}$

ahol:

• ${\displaystyle \operatorname {E} (L)}$ egy villanykörte várható élettartama
• ${\displaystyle \operatorname {P} (X)={6 \over 10}}$ annak a valószínűsége, hogy az ${\displaystyle X}$ gyárban készült
• ${\displaystyle \operatorname {P} (Y)={4 \over 10}}$ annak a valószínűsége, hogy az ${\displaystyle Y}$ gyárban készült
• ${\displaystyle \operatorname {E} (L\mid X)=5000}$ az ${\displaystyle X}$ gyárban készült villanykörte várható élettartama
• ${\displaystyle \operatorname {E} (L\mid Y)=4000}$ az ${\displaystyle Y}$ gyárban készült villanykörte várható élettartama

Eszerint a villanykörte várható élettartama 4600 óra.

Bizonyítás

Diszkrét eset

Állítás: Legyen ${\displaystyle X}$ és ${\displaystyle Y}$ diszkrét valószínűségi változó ugyanazon a valószínűségi mezőn, továbbá létezzen az ${\displaystyle \operatorname {E} [X]}$ várható érték, ${\displaystyle \min(\operatorname {E} [X_{+}],\operatorname {E} [X_{-}])<\infty }$. Ha ${\displaystyle \{A_{i}\}}$ az ${\displaystyle \Omega }$ valószínűségi mező partíciója, akkor

${\displaystyle \operatorname {E} (X)=\sum _{i}{\operatorname {E} (X\mid A_{i})\operatorname {P} (A_{i})}.}$

Bizonyítás:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} \left(\operatorname {E} (X\mid Y)\right)&=\operatorname {E} {\Bigg [}\sum _{x}x\cdot \operatorname {P} (X=x\mid Y){\Bigg ]}\\[6pt]&=\sum _{y}{\Bigg [}\sum _{x}x\cdot \operatorname {P} (X=x\mid Y){\Bigg ]}\cdot \operatorname {P} (Y=y)\\[6pt]&=\sum _{y}\sum _{x}x\cdot \operatorname {P} (X=x,Y=y).\end{aligned}}}$

Ha a sor véges, akkor az összegzések felcserélhetők, így

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{x}\sum _{y}x\cdot \operatorname {P} (X=x,Y=y)&=\sum _{x}x\sum _{y}\operatorname {P} (X=x,Y=y)\\[6pt]&=\sum _{x}x\cdot \operatorname {P} (X=x)\\[6pt]&=\operatorname {E} (X).\end{aligned}}}$

Nem véges esetben a sor nem lehet feltételesen konvergens, mivel ${\displaystyle \min(\operatorname {E} [X_{+}],\operatorname {E} [X_{-}])<\infty .}$ Ha ${\displaystyle \operatorname {E} [X_{+}]}$ és ${\displaystyle \operatorname {E} [X_{-}]}$ véges, akkor a konvergencia abszolút; ha pedig ${\displaystyle \operatorname {E} [X_{+}]}$ vagy ${\displaystyle \operatorname {E} [X_{-}]}$ nem véges, akkor a végtelenhez tart. Mindkét esetben felcserélhető az összegzés az összegre való hatás nélkül.

Általános eset

Legyen ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {P} )}$ valószínűségi mező, amin adva vannak az ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{1}\subseteq {\mathcal {G}}_{2}\subseteq {\mathcal {F}}}$ σ-algebrák. Ekkor a téren egy ${\displaystyle X}$ valószínűségi változóra, aminek van várható értéke, vagyis ${\displaystyle \min(\operatorname {E} [X_{+}],\operatorname {E} [X_{-}])<\infty }$, teljesül, hogy

${\displaystyle \operatorname {E} [\operatorname {E} [X\mid {\mathcal {G}}_{2}]\mid {\mathcal {G}}_{1}]=\operatorname {E} [X\mid {\mathcal {G}}_{1}]\quad {\text{.}}}$

Bizonyítás: Mivel a feltételes várható érték Radon–Nikodym-derivált, elegendő ezeket bizonyítani:

• ${\displaystyle \operatorname {E} [\operatorname {E} [X\mid {\mathcal {G}}_{2}]\mid {\mathcal {G}}_{1}]{\mbox{ is }}{\mathcal {G}}_{1}}$-mérhető
• ${\displaystyle \int _{G_{1}}\operatorname {E} [\operatorname {E} [X\mid {\mathcal {G}}_{2}]\mid {\mathcal {G}}_{1}]d\operatorname {P} =\int _{G_{1}}Xd\operatorname {P} ,}$ minden ${\displaystyle G_{1}\in {\mathcal {G}}_{1}}$ esetén.

Az első állítás a feltételes várható érték definíciójából adódik. A második bizonyításához jegyezzük meg, hogy

${\displaystyle {\begin{aligned}\min \left(\int _{G_{1}}X_{+}\,d\operatorname {P} ,\int _{G_{1}}X_{-}\,d\operatorname {P} \right)&\leq \min \left(\int _{\Omega }X_{+}\,d\operatorname {P} ,\int _{\Omega }X_{-}\,d\operatorname {P} \right)\\[4pt]&=\min(\operatorname {E} [X_{+}],\operatorname {E} [X_{-}])<\infty ,\end{aligned}}}$

Így létezik az ${\displaystyle \textstyle \int _{G_{1}}X\,d\operatorname {P} }$ integrál, vagyis nem egyenlő ${\displaystyle \infty -\infty }$-nel. Ekkor teljesül a második állítás, hiszen ${\displaystyle G_{1}\in {\mathcal {G}}_{1}\subseteq {\mathcal {G}}_{2}}$ implies

${\displaystyle \int _{G_{1}}\operatorname {E} [\operatorname {E} [X\mid {\mathcal {G}}_{2}]\mid {\mathcal {G}}_{1}]d\operatorname {P} =\int _{G_{1}}\operatorname {E} [X\mid {\mathcal {G}}_{2}]d\operatorname {P} =\int _{G_{1}}Xd\operatorname {P} .}$

Következmény: Speciálisan, ha ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{1}=\{\emptyset ,\Omega \}}$ és ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{2}=\sigma (Y)}$, akkor

${\displaystyle \operatorname {E} [\operatorname {E} [X\mid Y]]=\operatorname {E} [X].}$

Partíciós formula

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum \limits _{i}\operatorname {E} (X\mid A_{i})\operatorname {P} (A_{i})&=\sum \limits _{i}\int \limits _{\Omega }X(\omega )\operatorname {P} (d\omega \mid A_{i})\cdot \operatorname {P} (A_{i})\\&=\sum \limits _{i}\int \limits _{\Omega }X(\omega )\operatorname {P} (d\omega \cap A_{i})\\&=\sum \limits _{i}\int \limits _{\Omega }X(\omega )I_{A_{i}}(\omega )\operatorname {P} (d\omega )\\&=\sum \limits _{i}\operatorname {E} (XI_{A_{i}}),\end{aligned}}}$

ahol ${\displaystyle I_{A_{i}}}$ az ${\displaystyle A_{i}}$ halmaz indikátorfüggvénye.

Ha az ${\displaystyle {\{A_{i}\}}_{i=0}^{n}}$ partíció véges, akkor a linearitás miatt az előbbi kifejezés az

${\displaystyle \operatorname {E} \left(\sum \limits _{i=0}^{n}XI_{A_{i}}\right)=\operatorname {E} (X),}$

alakot ölti, és készen vagyunk.

Egyébként a dominált konvergencia tételével megmutatható, hogy

${\displaystyle \operatorname {E} \left(\sum \limits _{i=0}^{n}XI_{A_{i}}\right)\to \operatorname {E} (X).}$

innen minden ${\displaystyle n\geq 0}$ esetén

${\displaystyle \left|\sum _{i=0}^{n}XI_{A_{i}}\right|\leq |X|I_{\mathop {\cup } \limits _{i=0}^{n}A_{i}}\leq |X|.}$

Mivel ${\displaystyle \Omega }$ minden eleme egy, és csak egy ${\displaystyle A_{i}}$ halmazba tartozik, hamar igazolható, hogy ${\displaystyle {\left\{\sum _{i=0}^{n}XI_{A_{i}}\right\}}_{n=0}^{\infty }}$ pontonként konvergál ${\displaystyle X}$-hez. Az eredeti feltevés szerint ${\displaystyle \operatorname {E} |X|<\infty }$. Innen a dominált konvergencia tétele nyújtja az eredményt.

Források

• Billingsley, Patrick. Probability and measure. New York: John Wiley & Sons (1995). ISBN 0-471-00710-2  (Theorem 34.4)
• Christopher Sims, "Notes on Random Variables, Expectations, Probability Densities, and Martingales", especially equations (16) through (18)

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Law of total expectation című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.