Többszörösen tökéletes számok

A számelméletben a többszörösen tökéletes szám (multiply perfect number, multiperfect number vagy pluperfect number) a tökéletes szám fogalmának általánosítása.

Legyen k és n pozitív egész szám. Az n szám akkor és csak akkor k-tökéletes (vagy k-szorosan tökéletes), ha pozitív osztóinak összege, tehát az osztóösszeg σ(n) = k · n; egy szám tehát akkor tökéletes, ha 2-tökéletes. A k-tökéletes számokat (különösen k>2-re) többszörösen tökéletes számoknak nevezzük. 2014-es adat szerint k=1 és k=11 között ismerünk k-tökéletes számokat.^[1]

Beláthatók a következők:

• Ha p prímszám, n p-tökéletes és p nem osztója n-nek, akkor pn (p+1)-tökéletes. Ebből az is következik, hogy n akkor és csak akkor olyan 3-tökéletes szám, ami 2-vel osztható, de 4-gyel nem, ha n/2 páratlan tökéletes szám – amilyenből egyetlen sem ismert.
• Ha 3n 4k-tökéletes és 3 nem osztója n-nek, akkor n 3k-tökéletes.

A legkisebb k-tökéletes számok

A következő táblázat bemutatja a legkisebb k-tökéletes számokat k ≤ 11 -ig (A007539 sorozat az OEIS-ben):

k	A legkisebb k-tökéletes szám	Megtalálója	Vélhetően mindet megtalálták?[1]	Becsült számuk[1]
1	1	ókori	igen, bizonyítottan	1
2	6 = 2^1 · 3^1	ókori	nem, végtelen sok van	∞
3	120 = 2^3 · 3^1 · 5^1	ókori	igen	6
4	30240 = 2^5 · 3^3 · 5^1 · 7^1	René Descartes, 1638 körül	igen	36
5	14182439040 = 2^7 · 3^4 · 5^1 · 7^1 · 11^2 · 17^1 · 19^1	René Descartes, 1638 körül	igen	65
6	154345556085770649600 = 2^15 · 3^5 · 5^2 · 7^2 · 11^1 · 13^1 · 17^1 · 19^1 · 31^1 · 43^1 · 257^1	Robert Daniel Carmichael, 1907	igen	245
7	141310897947438348259849402738485523264343544818565120000 = 2^32 · 3^11 · 5^4 · 7^5 · 11^2 · 13^2 · 17^1 · 19^1 · 23^1 · 31^1 · 37^1 · 43^1 · 61^1 · 71^1 · 73^1 · 89^1 · 181^1 · 2141^1  · 599479^1	TE Mason, 1911	csaknem biztosan	~515
8	≈2,34111439263306338... · 10^161	Paul Poulet, 1929[1]	talán igen	~1140
9	≈7,9842491755534198... · 10^465	Fred Helenius[1]	nem	~2200
10	≈2,86879876441793479... · 10^923	Ron Sorli[1]	nem	~4500
11	≈2,51850413483992918... · 10^1906	George Woltman[1]	nem	~10 000

Például a 120 3-tökéletes, mert 120 osztóinak összege
1+2+3+4+5+6+8+10+12+15+20+24+30+40+60+120 = 360 = 3 · 120.

A k-tökéletes számok sorozata

Az alábbi táblázat bemutatja a k-tökéletes számok sorozatait k=6-ig.

k	Az első néhány k-szorosan tökéletes szám	OEIS
2	6, 28, 496, 8128, 33550336, 8589869056, 137438691328, ...	A000396
3	120, 672, 523776, 459818240, 1476304896, 51001180160, ...	A005820
4	30240, 32760, 2178540, 23569920, 45532800, 142990848, ...	A027687
5	14182439040, 31998395520, 518666803200, 13661860101120, ...	A046060
6	154345556085770649600, 9186050031556349952000, 680489641226538823680000, ...	A046061

Tulajdonságok

• Az X-nél kisebb többszörösen tökéletes számok darabszáma ${\displaystyle o(X^{\epsilon })}$ minden pozitív ε-ra.^[2]
• Az egyetlen ismert többszörösen tökéletes szám az 1.

A k egyes értékei

Tökéletes számok

Bővebben: tökéletes számok

Az olyan n számok, amikre σ(n) = 2n, tökéletes számok.

3-tökéletes számok

Az olyan n számok, amikre σ(n) = 3n, 3-tökéletesek (triperfect). Egy páratlan 3-tökéletes számnak legalább 10⁷⁰-nek kellene lennie, legalább 12 különböző prímtényezővel, melyek legnagyobbika meghaladja a 10⁵-t.^[3]

6-tökéletes számok

Az ismert értékei itt találhatók. Valószínűleg a számuk véges, és a lista teljes.

Jegyzetek

1. Flammenkamp
2. Sándor et al (2006) p.105
3. Sandor et al (2006) pp.108–109

• Flammenkamp, Achim: The Multiply Perfect Numbers Page. (Hozzáférés: 2014. január 22.)
• (1986) „Measuring the abundancy of integers”. Mathematics Magazine 59, 84–92. o. ISSN 0025-570X. JSTOR 2690424. 
• Kishore, Masao (1987). „Odd triperfect numbers are divisible by twelve distinct prime factors”. J. Aust. Math. Soc. Ser. A 42 (2), 173–182. o. DOI:10.1017/s1446788700028184. ISSN 0263-6115. 
• (1999) „Problem 10617 (Divisors of sums of divisors)”. Am. Math. Monthly 106, 693. o. JSTOR 2589515. 
• (2000) „The abundancy ratio, a measure of perfection”. Math. Mag. 73, 307–310. o. JSTOR 2690980. 
• Sorli, Ronald M. (2003), Algorithms in the study of multiperfect and odd perfect numbers, <http://hdl.handle.net/2100/275>
• (2003) „A simpler dense proof regarding the abundancy index”. Math. Mag. 76, 299–301. o. JSTOR 3219086. 
• Guy, Richard K.. Unsolved problems in number theory, 3rd, Springer-Verlag (2004). ISBN 978-0-387-20860-2 
• (2008) „Odd multiperfect numbers of abundancy 4”. J. Number Theory 126, 1566–1575. o. DOI:10.1016/j.jnt.2007.02.001. 
• Handbook of number theory I. Dordrecht: Springer-Verlag (2006). ISBN 1-4020-4215-9 
• Handbook of number theory II. Dordrecht: Kluwer Academic, 32–36. o. (2004). ISBN 1-4020-2546-7 

További információk

• The Multiply Perfect Numbers page
• The Prime Glossary: Multiply perfect numbers