Weierstrass-elmélet

Hasonló cikkcímek és megnevezések: Weierstrass-tétel (egyértelműsítő lap)

A Weierstrass-elmélet a matematikában egy hatványsorok egy bizonyos alakú szorzattá bontásáról szóló tételcsalád. Az említett szorzat egyik tényezője ekkor egy úgynevezett kitüntetett vagy Weierstrass-polinom, (egy) másik tényezője pedig egy megfelelő értelemben vett egység. Weierstrass-elméletről beszélhetünk a többváltozós komplex analízisben, valamely teljes lokális gyűrű feletti formális hatványsorok esetében, illetve Tate-algebrákban.

Többváltozós komplex analízis

Az egyváltozós komplex analízisben megmutatható, hogy ha egy ${\displaystyle f(z)}$ függvény holomorf a 0 egy nyílt környezetében, akkor felírható z egy hatványának és egy 0-ban nem eltűnő holomorf függvénynek a szorzataként. Ekkor a z kitevője a 0 zérushely multiplicitása.

Ezt általánosítja a Weierstrass-előkészítésitétel:

Legyen ${\displaystyle f(z_{1},\ldots ,z_{n})}$ egy n-változós holomorf függvény a ${\displaystyle (0,\ldots ,0)}$ egy nyílt környezetében úgy, hogy ${\displaystyle f(0,\ldots ,0)=0}$ valamely s multiplicitással, és az ${\displaystyle f(0,\ldots ,0,z_{n})}$ egyváltozós függvény nem azonosan nulla. Ekkor ${\displaystyle (0,\ldots ,0)}$ valamely környezetében f felírható

${\displaystyle f(z_{1},\ldots ,z_{n})=g(z)\left(z_{n}^{s}+\sum _{i=1}^{s}f_{i}(z_{1},\ldots ,z_{n-1})z_{n}^{s-i}\right)}$

szorzatalakban, ahol minden i-re ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle n-1}$ változós holomorf függvény, ${\displaystyle f_{i}(0,\ldots ,0)=0}$, g pedig holomorf és nem tűnik el a ${\displaystyle (0,\ldots ,0)}$ egy környezetében.^[1]

Ehelyett az analitikus megfogalmazás helyett a tétel kimondható algebrai formában is:

Legyen ${\displaystyle f\in \mathbb {C} [[z_{1},\ldots ,z_{n}]]}$, és legyen s az f legkisebb fokú nemnulla együtthatós monomja. Ekkor f felírható

${\displaystyle f(z_{1},\ldots ,z_{n})=g(z)\left(z_{n}^{s}+\sum _{i=1}^{s}f_{i}(z_{1},\ldots ,z_{n-1})z_{n}^{s-i}\right)}$

szorzatalakban, ahol ${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{s}\in \mathbb {C} [[z_{1},\ldots ,z_{n-1}]]}$ zeró konstans taggal, és ${\displaystyle g\in \mathbb {C} [[z_{1},\ldots ,z_{n}]]}$ nemzéró konstans taggal. Továbbá ez a szorzatalak egyértelmű.^[1]

A két megfogalmazás ekvivalenciáját a holomorficitás és analiticitás közti kapcsolat adja. A második megfogalmazás arra is rámutat, hogy a tétel lényegében algebrai állítás.

Ebben az algebrai kontextusban mondjuk ki a Weierstrass-maradékososztási tételt:

Legyen ${\displaystyle f,g\in \mathbb {C} [[z_{1},\ldots ,z_{n}]]}$, legyen ${\displaystyle g(0,\ldots ,0)=0}$ valamely s multiplicitással, és tegyük fel, hogy ${\displaystyle g(0,\ldots ,0,z_{n})}$ nem azonosan nulla. (Azaz g teljesíti az előkészítési tétel feltételeit.) Ekkor léteznek egyértelmű ${\displaystyle q\in \mathbb {C} [[z_{1},\ldots ,z_{n}]]}$ és ${\displaystyle r\in \mathbb {C} [[z_{1},\ldots ,z_{n-1}]][z_{n}]}$ legfeljebb ${\displaystyle s-1}$ fokú polinom úgy, hogy r együtthatói eltűnnek ${\displaystyle (0,\ldots ,0)}$-ban, és

${\displaystyle f=gq+r}$.^[1]

Tate-algebrák

Legyen K egy test egy nemtriviális nemarkhimédeszi abszolút értékkel, amire nézve K teljes. A komplex analízissel való analógiában ez a K test játssza a komplex számok szerepét: a különbség abban áll, hogy K nemarkhimédeszi, míg ${\displaystyle \mathbb {C} }$ arkhimédeszi teljes test. A Tate-algebrák elmélete a rigid geometriához tartozik: ezen terület célja a komplex geometriával analóg elmélet felépítése nemarkhimédeszi testek felett.

A ${\displaystyle K\langle \zeta _{1},\ldots ,\zeta _{n}\rangle }$ Tate-algebra azon K feletti n-változós formális hatványsorokból áll, amiknek együtthatói nullához tartanak:

${\displaystyle K\langle \zeta _{1},\ldots ,\zeta _{n}\rangle =\left\{\sum _{\nu \in \mathbb {N} ^{n}}c_{\nu }\zeta ^{\nu }\in K[[\zeta _{1},\ldots ,\zeta _{n}]]:c_{\nu }\in K,\lim _{|\nu |\to \infty }|c_{\nu }|=0\right\}}$

Itt ${\displaystyle \zeta ^{\nu }=(\zeta _{1}^{\nu _{1}},\ldots ,\zeta _{n}^{\nu _{n}})}$, ha ${\displaystyle \nu =(\nu _{1},\ldots ,\nu _{n})}$, és ${\displaystyle |\nu |=\nu _{1}+\ldots +\nu _{n}}$. A Tate-algebra elemeit megszorított vagy szigorúan konvergens hatványsoroknak is nevezik.^[2] A szigorúan konvergens hatványsorok megfelelői a komplex analízisben az analitikus függvények, azaz azok a függvények, amik megadhatók konvergens hatványsorral.

A Tate-algebra Banach-algebra a következő módon definiált Gauss-normára nézve:^[3]

${\displaystyle \left|\sum _{\nu \in \mathbb {N} ^{n}}c_{\nu }\zeta ^{\nu }\right|=\max _{\nu }|c_{\nu }|}$

Legyen f a ${\displaystyle K\langle \zeta _{1},\ldots ,\zeta _{n}\rangle }$ Tate-algebra egy eleme. Ekkor f felírható olyan hatványsorként ${\displaystyle \zeta _{n}}$ változóval, aminek együtthatói ${\displaystyle n-1}$ változós megszorított hatványsorok, azaz

${\displaystyle f=\sum _{\nu =0}^{\infty }f_{\nu }\zeta _{n}^{\nu }}$,

ahol ${\displaystyle f_{\nu }\in K\langle \zeta _{1},\ldots ,\zeta _{n-1}\rangle }$. Az f megszorított hatványsort s rendű ${\displaystyle \zeta _{n}}$-kitüntetettnek nevezzük, ha van olyan ${\displaystyle s\geq 0}$, hogy ${\displaystyle f_{s}\in K\langle \zeta _{1},\ldots ,\zeta _{n-1}\rangle ^{\times }}$ egy egység, ${\displaystyle |f_{s}|=|f|}$, és minden ${\displaystyle \nu >s}$-re ${\displaystyle |f_{s}|>|f_{\nu }|}$.^[4]

A Tate-algebrák Weierstrass-maradékososztási tétele a következő:

Legyen ${\displaystyle g\in K\langle \zeta _{1},\ldots ,\zeta _{n}\rangle }$ s rendű ${\displaystyle \zeta _{n}}$-kitüntetett megszorított hatványsor. Ekkor minden ${\displaystyle f\in K\langle \zeta _{1},\ldots ,\zeta _{n}\rangle }$ megszorított hatványsorra létezik egy egyértelmű ${\displaystyle q\in K\langle \zeta _{1},\ldots ,\zeta _{n}\rangle }$ megszorított hatványsor és egy egyértelmű ${\displaystyle r\in K\langle \zeta _{1},\ldots ,\zeta _{n-1}\rangle [\zeta _{n}]}$ megszorított hatványsor együtthatós legfeljebb ${\displaystyle s-1}$-edfokú polinom, hogy

${\displaystyle f=gq+r}$.

Ekkor ${\displaystyle |f|=\max(|q|\cdot |g|,|r|)}$.^[5]

A megfelelő Weierstrass-előkészítésitétel pedig a következő:

Legyen ${\displaystyle g\in K\langle \zeta _{1},\ldots ,\zeta _{n}\rangle }$ s rendű ${\displaystyle \zeta _{n}}$-kitüntetett megszorított hatványsor. Ekkor létezik egy egyértelmű egy főegyütthatójú ${\displaystyle \omega \in K\langle \zeta _{1},\ldots ,\zeta _{n-1}\rangle [\zeta _{n}]}$ s-edfokú polinom és egy ${\displaystyle e\in K\langle \zeta _{1},\ldots ,\zeta _{n}\rangle ^{\times }}$ egység, hogy

${\displaystyle f=e\omega }$.

Ekkor ${\displaystyle |\omega |=1}$, így ${\displaystyle \omega }$ s rendű ${\displaystyle \zeta _{n}}$-kitüntetett.^[6]

Teljes lokális gyűrű feletti formális hatványsorok

Kommutatív gyűrűk

Legyen ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ egy teljes kommutatív lokális Noether-gyűrű ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ maximális ideállal és és pozitív p karakterisztikájú ${\displaystyle {\mathcal {O}}/{\mathfrak {m}}}$ maradéktesttel. Ilyen ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ például a p-adikus egészek ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ gyűrűje, vagy általánosabban az egészek gyűrűje a p-adikus számok ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ testének valamely véges bővítésében.

Legyen továbbá ${\displaystyle \Lambda ={\mathcal {O}}[[T]]}$ az ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ feletti egyváltozós hatványsorok gyűrűje.

A Weierstrass-maradékososztási tétel ebben az esetben a következő:

Legyenek ${\displaystyle f,g\in \Lambda }$ hatványsorok úgy, hogy ${\displaystyle g\notin {\mathfrak {m}}\Lambda }$, és legyen n a legnagyobb olyan egész szám, amire ${\displaystyle g\in {\mathfrak {m}}\Lambda +T^{n}\Lambda }$. Ekkor egyértelmű létezik olyan ${\displaystyle q\in \Lambda }$ hatványsor és ${\displaystyle r\in {\mathcal {O}}[T]}$ legfeljebb ${\displaystyle n-1}$ fokú polinom, hogy

${\displaystyle f=gq+r}$.^[7]

A ${\displaystyle \Lambda }$ gyűrűben egy polinomot kitüntetettnek nevezünk, ha 1 főegyütthatójú és minden további együtthatója ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$-ben van.

A Weierstrass-előkészítésitétel a következő:

Legyen ${\displaystyle f\in \Lambda -{\mathfrak {m}}\Lambda }$. Ekkor egyértelműen létezik egy g kitüntetett polinom és egy ${\displaystyle u\in \Lambda ^{\times }}$ egység úgy, hogy

${\displaystyle f=gu}$.^[8]

Speciálisan ha ${\displaystyle {\mathfrak {m}}=\pi \Lambda }$ egy főideál, akkor bármely ${\displaystyle f\in \Lambda }$ egyértelműen felírható

${\displaystyle f=\pi ^{\mu }gu}$

szorzatként, ahol g és u a fenti feltételeket teljesítik.^[9]

A Weierstrass-maradékososztás gyengébb az euklideszi algoritmusnál, mert g nem választható a gyűrű tetszőleges nemnulla elemének. Ugyanakkor analógiában azzal, hogy bármely euklideszi gyűrű alaptételes, igaz a következő:

Ha ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ főideálgyűrű, akkor ${\displaystyle \Lambda }$ alaptételes.^[10]

Az ${\displaystyle {\mathcal {O}}[[T]]}$ alakú gyűrűk fontos szerepet játszanak az Iwasawa-elméletben, ahol ezeket (más hasonló gyűrűkkel együtt) Iwasawa-algebráknak nevezik. Az Iwasawa-elmélet alapvető fontosságú tétele az Iwasawa-algebrák feletti végesen generált modulusok struktúratétele. Ez a főiedálgyűrű feletti végesen generált modulusok struktúratételéhez hasonló állítás, és a bizonyítása is jelentős részben hasonlít a főidelgyűrűk feletti állításéra. A bizonyításban szerepet játszik a Weierstrass-maradékososztás is.^[11]

Nemkommutatív gyűrűk

Kommutatív gyűrű feletti formális hatványsorok helyett vizsgálható egy nemkommutatív gyűrű feletti ferde hatványsorok gyűrűje is. Ennek definíciója a következő. Legyen R egy nem feltétlenül kommutatív gyűrű, ${\displaystyle \sigma :R\to R}$ egy endomorfizmus, ${\displaystyle \delta :R\to R}$ pedig egy ${\displaystyle \sigma }$-deriválás, azaz egy olyan csoporthomomorfizmus, amire

${\displaystyle \delta (rs)=\delta (r)s+\sigma (r)\delta (s)}$ minden ${\displaystyle r,s\in R}$-re.

Az R feletti ferde formális hatványsorok ${\displaystyle R[[X;\sigma ,\delta ]]}$ gyűrűje mint halmaz a formális hatványsorok ${\displaystyle R[[X]]}$ gyűrűjéből áll, az összeadás tagonként történik, a szorzás pedig az

${\displaystyle Xr=\sigma (r)X+\delta (r)}$

szabály szerint. Könnyen látható, hogy ha ${\displaystyle \sigma }$ az identitás, ${\displaystyle \delta }$ pedig azonosan nulla, akkor ${\displaystyle R[[X;\sigma ,\delta ]]=R[[X]]}$.^[12]

Ha R egy nem feltétlenül kommutatív lokális gyűrű, ami Hausdorff és teljes a maximális ideál által meghatározott topológiára nézve, akkor az R feletti ferde formális hatványsorok gyűrűjére általánosíthatók a kommutatív eset Weierstrass-maradékososztási és -előkészítési tételek.^[13]

Jegyzetek

1. EoM
2. Bosch §2.2, Definition 2
3. Bosch §2.2, Proposition 3
4. Bosch §2.2, Definition 6
5. Bosch §2.2, Theorem 8
6. Bosch §2.2, Corollary 9
7. Sharifi Proposition 2.2.1
8. Sharifi Theorem 2.2.3
9. Washington Theorem 7.3
10. Sharifi Corollary 2.2.4
11. Washington Theorem 13.12
12. Venjakob §2
13. Venjakob Theorem 3.1, Corollary 3.2

Források

• ↑ Bosch: Siegfried Bosch. Lectures on Formal and Rigid Geometry. Heidelberg: Springer, 12–24. o. (2014). ISBN 978-3-319-04417-0. Hozzáférés ideje: 2022. január 27. 
• ↑ EoM: E.D. Solomentsev: Weierstrass theorem (angol nyelven). Encyclopedia of Mathematics. Springer. (Hozzáférés: 2022. január 30.)
• ↑ Sharifi: Romyar Sharifi: Iwasawa Theory. (Hozzáférés: 2022. január 29.)
• ↑ Venjakob: Otmar Venjakob. „A noncommutative Weierstrass preparation theorem and applications to Iwasawa theory”. J. reine angew. Math. 2003 (559), 153–191. o. DOI:10.1515/crll.2003.047. (Hozzáférés: 2022. január 27.) ^{[halott link]}
• ↑ Washington: Lawrence C. Washington. Introduction to Cyclotomic Fields, 2., New York: Springer, 113–117, 269–277. o. (1997)