Örökifjú tulajdonság

Az örökifjú tulajdonság egy valószínűségszámításban használt fogalom.

A X valószínűségi változó örökifjú tulajdonságú (vagy röviden örökifjú), ha minden ${\displaystyle a\geq 0}$ és ${\displaystyle b\geq 0}$ számra teljesül, hogy

${\displaystyle P(X>a+b\,\mid \,X>a)=P(X>b)}$ vagy ${\displaystyle P(X\geq a+b\,\mid \,X\geq a)=P(X\geq b)}$. (A kettő megkülönböztetésének folytonos valószínűségi változóknál nincs jelentősége.)

Szemléletesen, ha például a valószínűségi változó egy eszköz élettartama, akkor az örökifjú tulajdonság azt jelenti, hogy a valamilyen életkorú eszköz ugyanakkora eséllyel nem romlik el még t ideig, amekkora eséllyel nem romolna el t ideig, ha új lenne.

Példák

Folytonos valószínűségi változó

Az exponenciális eloszlású valószínűségi változó örökifjú tulajdonságú.

Bizonyítás:

Mivel ${\displaystyle P(X<x)=1-e^{-\lambda x}}$ minden ${\displaystyle x\geq 0}$ számra, ezért ${\displaystyle P(X>x)=e^{-\lambda x}}$ minden ${\displaystyle x\geq 0}$ számra, és így

${\displaystyle P(X>a+b\,\mid \,X>a)={\frac {P(X>a+b\,\cap \,X>a)}{P(X>a)}}={\frac {P(X>a+b)}{P(X>a)}}={\frac {e^{-\lambda (a+b)}}{e^{-\lambda a}}}=e^{-\lambda b}=P(X>b)}$.

Megmutatható, hogy csak az exponenciális eloszlás örökifjú tulajdonságú a folytonos eloszlások közül, vagyis ha egy folytonos valószínűségi változó örökifjú tulajdonságú, akkor exponenciális eloszlást követ.

Diszkrét valószínűségi változó

A geometriai eloszlás is örökifjú tulajdonságú.

Ha ${\displaystyle P(X=n)=p(1-p)^{n}}$, abban az esetben ${\displaystyle P(X\geq n)=(1-p)^{n}}$, ugyanis

${\displaystyle P(X\geq n)=\sum _{i=n}^{\infty }p(1-p)^{i}=(1-p)^{n}\sum _{i=0}^{\infty }p(1-p)^{i}=(1-p)^{n}{\frac {p}{1-(1-p)}}=(1-p)^{n}}$.

Ezért

${\displaystyle P(X\geq a+b\,\mid \,X\geq a)={\frac {P(X\geq a+b\,\cap \,X\geq a)}{P(X\geq a)}}={\frac {P(X\geq a+b)}{P(X\geq a)}}={\frac {(1-p)^{a+b}}{(1-p)^{a}}}=(1-p)^{b}=P(X\geq b)}$.

Ha pedig ${\displaystyle P(X=n)=p(1-p)^{n-1}}$, abban az esetben ${\displaystyle P(X>n)=\sum _{i=n+1}^{\infty }p(1-p)^{i-1}=\sum _{i=n}^{\infty }p(1-p)^{i}=(1-p)^{n}}$, a fentihez hasonlóan. Ebből következően

${\displaystyle P(X>a+b\,\mid \,X>a)={\frac {P(X>a+b\,\cap \,X>a)}{P(X>a)}}={\frac {P(X>a+b)}{P(X>a)}}={\frac {(1-p)^{a+b}}{(1-p)^{a}}}=(1-p)^{b}=P(X>b)}$.

A diszkrét eloszlások közül a geometriai az egyetlen örökifjú tulajdonságú.

Források

• http://math.bme.hu/~morap/Gyakorlat7.pdf
• http://www.renyi.hu/~major/szeged/szeged1/eloadas8.pdf
• http://www.math.wm.edu/~leemis/chart/UDR/PDFs/GeometricF.pdf