Գնդային եռանկյուն

Սֆերիկ եռանկյուն

Գնդային եռանկյուն, սֆերայի (գնդի) մակերեևույթին գտնվող երկրաչափական մարմին, կազմված երեք կետից և երեք մեծ շրջանների աղեղներից, որոնք միացված են զույգ առ զույգ։ Սֆերայի մակերևույթի երեք մեծ շրջանները մեկ կետում չեն հատվում և կազմում են 8 գնդային եռանկյուններ։

Գնդային եռանկայն տարրերի միջև առնչություններն ուսումնասիրում է գնդային եռանկյունաչափությունը։

Գնդային եռանկյան կողմը հաշվվում է կենտրոնական անկյան վրա հիմնված մեծությամբ։ Եռանկյան անկյունը չափվում է այն երկնիստ անկյան չափով, որի նիստերի վրա ընկած են անկյան կողմերը։ Այն գնդային եռանկյունը, որի բոլոր կողմերը փոքր են մեծ կիսաշրջանից, իսկ անկյունները փոքր են Π-ից, կոչվում են էյլերյան եռանկյուններ^[1]։ Հաջորդիվ կուսումնասիրվեն են էյլերյան եռանկյունները։

Գնդային եռանկյունները առաջանում են երեք մեծ շրջանների հատումից:

Գնդային եռանկյան անկյունները

A'B'C' բևեռային եռանկյուն

Հատկություններ

• Եռանկյունների հավասարության երեք հայտանիշներից բացի, այս եռնկունների համար կա նաև չորրորդ հայտանիշը։ Եռանկյունները հավասար են, եթե հավասար են նրանց երեք համապատասխան անկյունները^[1]։ Էվկլիդեսյան երկրաչափության մեջ այդպիսի եռանկյունները նման են։ Գնդային երկրաչափության մեջ նմանության գործակիցը միշտ հավասար է մեկի, այդ պատճառով նրանում չկան նման, բայց իրար ոչ հավասար պատկերներ։
• Տրված (ᐃABC) եռանյան համար բևեռային է կոչվում (ᐃA'B'C') այնպիսի եռանկյունը, որի A', B', C' գագաթները հանդիսանում են համապատասխանաբար BC, CA, AB կողմերի բևեռները, և A և A', B և B', C և C' կետերը ընկած են համապատասխանաբար BC, CA, AB կողմերի նկատմամբ նույն կողմում^[2]։
  • Ցանկացած բևեռային եռանկյան համար տեղի ունի․${\displaystyle K'=\pi -k}$; ${\displaystyle k'=\pi -K}$, որտեղ անկյունը՝ ${\displaystyle K=\alpha ,\beta ,\gamma }$ և կողմը՝ ${\displaystyle k=a,b,c}$.
  • Գնդային եռանկյունը, որի բոլոր անկյունները ուղիղ են, բևեռային է ինքը իրեն։
• Գնդային եռանկյան կողմերի համար տեղի ունի հետևյալ եռանկյան անհավասարությունը․ Ամեն մի կողմը փոքր է մյուս երկուսի գումարից և մեծ նրանց տարբերությունից^[1]։
• ${\displaystyle a+b+c}$ երեք կողմերի գումարը միշտ փոքր է ${\displaystyle 2\pi }$^[1]։
  • ${\displaystyle 2\pi -(a+b+c)}$մեծությունը կոչվում է գնդային պակասորդ^[3][4]։
• Գնդային եռանկյան անկյունների ${\displaystyle s=\alpha +\beta +\gamma }$ գումարը միշտ փոքր է ${\displaystyle 3\pi }$ և մեծ ${\displaystyle \pi }$^[1][5][6]։
  • ${\displaystyle s-\pi =\varepsilon }$ մեծությունը կոչվում է գնդային ավելցուկ կամ գնդային էքսցես (խախտում)^[3]։
  • Մակերեսը որոշվում է հետևյալ բանաձևով ${\displaystyle S=R^{2}\varepsilon =R^{2}(\alpha +\beta +\gamma -\pi )}$։ Մակերեսի գնդային ավելցուկին համեմատական լինելը պայմանավորված է մակերևույթի երեք երկանկյուններով պատված լինելով, որոնք կազմում են գնդային եռանկյուն^[1][7][8]։
• Եթե գնդային եռանկյան երեք անկյուններից հանենք երկուսը, կստանանք ${\displaystyle \pi }$-ց փոքր անկյուն^[1]։
• Ի տարբերություն հարթ եռանկյան, գնդայինը կարող է ունենալ երկու կամ երեք՝ ուղիղ կամ բութ անկյուն։

Ծանոթագրություններ

1. Степанов Н. Н. Сферическая тригонометрия. — М.—Л.: ОГИЗ, 1948. — 154 с.
2. Энциклопедия элементарной математики, 1963, էջ 530
3. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. — М.: Наука, 1974.
4. Сферический треугольник
5. Статья в «Успехах физических наук»
6. Weisstein, Eric W., "Сферический треугольник", MathWorld.
7. Вентцель М. К. Сферическая тригонометрия. — 2 изд, ИГКЛ, 1948, 115 с. (доступно на bookfi.org). Строгое доказательство пропорциональности площади сферическому избытку — на с. 82
8. Васильев Н., Гутенмахер В. Сумма углов сферического многоугольника // «Квант», № 2, 1988

Գրականություն

• Прасолов В. В. Геометрия Лобачевского. — М., 1995. (§1. Сферическая геометрия.)
• Основные понятия сферической геометрии и тригонометрии // Энциклопедия элементарной математики. — Физматгиз, 1963. — Т. 4 (геометрия). — С. 518-558.

Արտաքին հղումներ

• Краткий справочник по сферической тригонометрии
• Статья на Wolfram MathWorld [1]

Վիքիպահեստն ունի նյութեր, որոնք վերաբերում են «Գնդային եռանկյուն» հոդվածին։