Հավասարասրուն ուղղանկյուն եռանկյուն

Հավասարասրուն ուղղանկյուն եռանկյուն

Հավասարասրուն ուղղանկյուն եռանկյանն արտագծած և ներգծած շրջանագծեր^[1]: Շրջանագծերի կենտրոնների հեռավորությունը նույնն է. ${\displaystyle d=r\,}$:

Հավասարասրուն ուղղանկյուն եռանկյանն ու սովորական հավասարասրուն եռանկյանը հավասար՝ ${\displaystyle d=r\,}$, ներգծյալ և արտագծյալ շրջանագծեր:

Հավասարասրուն ուղղանկյուն եռանկյուն, միաժամանակ և՛ հավասարասրուն է, և՛ ուղղանկյուն եռանկյուն։ Այս եռանկյան մեջ ներքին անկյուններից երկուսը հավասար է 45°.

${\displaystyle \alpha =\beta =45^{\circ }={\frac {\pi }{4}}\!\,,}$

իսկ երրորդ ներքին անկյունն ուղիղ է.

${\displaystyle \gamma =180^{\circ }-2\alpha =90^{\circ }={\frac {\pi }{2}}\!\,,}$

Ներքին անկյուններն ունեն 1 : 1 : 2 հարաբերակայնությունը։

Սրունքներից յուրաքանյուրը հավասար են.

${\displaystyle a=b={\frac {c{\sqrt {2}}}{2}}\!\,,}$

իսկ հիմքը՝

${\displaystyle c=a{\sqrt {2}}\!\,,}$

կողմերը հարաբերում են ինչպես 1 ։ 1 ։ √2: Սրունքները հանդիսանում են էջեր, իսկ հիմքը՝ ներքնաձիգ։

Ներքնաձիգին տարված բարձրությունը հավասար է նրա կեսին^[2].

${\displaystyle h_{c}={\frac {a{\sqrt {2}}}{2}}={\frac {c}{2}}=R\!\,,}$

որտեղ R-ը արտագծյալ շրջանագծի շառավիղն է։

Պարագիծ

Հավասարասրուն ուղղանկյուն եռանկյան պարագիծը հավասար է.

${\displaystyle P=a+b+c=a(2+{\sqrt {2}})\!\,:}$

Մակերես

Հավասարասրուն ուղղանկյուն եռանկյան մակերեսը հավասար է.

${\displaystyle S={\frac {a^{2}}{2}}={\frac {c^{2}}{4}}\!\,:}$

Հավասարասրուն ուղղանկյուն եռանկյան մակերեսը կարելի է արտահայտել նաև Հերոնի բանաձևերի օգնությամբ.

${\displaystyle S={\sqrt {p(p-a)^{2}(p-a{\sqrt {2}})}}\!\,,}$

որտեղ p-ն հավասարասրուն ուղղանկյուն եռանկյան կիսապարագիծն է։

${\displaystyle p={\frac {P}{2}}=a\left(1+{\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)\!\,:}$

Ընդհանուր բնութագրիչներ

Արտագծյալ և ներգծյալ շրջանագծեր

Հավասարասրուն ուղղանկյուն եռանկյունը, ինչպես յուրաքանչյուր եռանկյուն, հանդիսանում է երկկենտրոն։ Նրանում.

${\displaystyle r\!\,}$	${\displaystyle R\!\,}$	${\displaystyle a\!\,}$	${\displaystyle c\!\,}$
${\displaystyle R\left({\sqrt {2}}-1\right)={\frac {a}{2}}\left(2-{\sqrt {2}}\right)={\frac {c}{2}}\left({\sqrt {2}}-1\right)\!\,}$	${\displaystyle {\frac {r}{{\sqrt {2}}-1}}={\frac {a}{2}}{\sqrt {2}}={\frac {c}{2}}\!\,}$	${\displaystyle {\frac {2r}{2-{\sqrt {2}}}}=R{\sqrt {2}}={\frac {c}{2}}{\sqrt {2}}\!\,}$	${\displaystyle {\frac {2r}{{\sqrt {2}}-1}}=2R=a{\sqrt {2}}\!\,}$

Այստեղ r-ը ներգծյալ շրջանագծի շառավիղն է, R-ը՝ արտագծյալ շրջանագծի շառավիղը, a-ն եռանկյան էջերն է, իսկ c-ն ներքնաձիգը։

Էվկլիդյան հարթության անկանոն ծածկույթը հավասարասրուն ուղղանկյուն եռանկյուններով

Մեկ-հիմգ հիմնական սիմվոլներով պոլյաբոլներ

Չորս հավասարասրուն ուղղանկյուն եռանկյունները մնացած յոթ հիմնական պատկերների հետ միասին ձևավորում են Բերմունդյան եռանկյուն, փազլ գլուխկոտրուկի միջոցով

Արտագծյալ և ներգծյալ շրջանագծերի կենտրոնների d հեռավորությունը հավասար է ներգծյալ շրջանագծի r շառավղին և տրվում է Էյլերի բանաձևով.

${\displaystyle d^{2}=R(R-2r)={\frac {a^{2}}{2}}\left(3-2{\sqrt {2}}\right)\!\,}$

${\displaystyle d=r={\frac {a}{2}}\left(2-{\sqrt {2}}\right)=a{\sqrt {{\frac {1}{2}}\left(3-2{\sqrt {2}}\right)}}\approx 0,2928932\,a\!\,:}$

Հավասարասրուն եռանկյունը, որն ունի հավասար արտագծյալ և ներգծյալ շրջանագիծ և նրանց կենտրոնների միջև հավասար հեռավորություն (${\displaystyle d=r\,}$)՝ ունի հետևյալ անկյունները.

${\displaystyle \alpha =\beta =\operatorname {arc\,tg} {\frac {4-{\sqrt {2}}}{{\sqrt {2}}{\sqrt {8{\sqrt {2}}-11}}}}\approx 72,968751^{\circ }\!\,,}$

${\displaystyle \gamma =180^{\circ }-2\alpha \approx 34,062496^{\circ }\!\,:}$

Էվկլիդյան հարթության ծածկույթ

Հավասարասրուն ուղղանկյուն եռանկյունը հանդիսանում այն երեք եռանկյուններից մեկը, որոնք ծածկում են էվկլիդյան հարթությունը։ Միայն կանոնավոր եռանկյուններով (եռանկյուն 60-60-60), որոնք հանդիսանում են կանոնավոր բազմանկյուններ, կարելի հարթությունը ճիշտ ծածկել։ Երրորդ եռանկյունը, որը հարթությունը ծածկում է ոչ ճիշտ, իրենից ներկայացնում է ուղղանկյուն եռանկյուն 30-60-90։ Այս երեք եռանկյունները կոչվում են Մյոբիուսի եռանկյուններ, ինչը նշանակում է, որ դրանք հարթությունը ծածկում են առանց հատվելու, իրենց կողմերն արտապատկերելով։

Բազմաձևերը գլուխկոտրուկներում

Բազմաձևերը, որոնց հիմնական պատկերներն հանդիսանում են հավասարասրուն ուղղանկյուն եռանկյունները, դրանք պոլյաբոլներ են։

Հինգ հավասարասրուն ուղղանկյուն եռանկյունները մեկ քառակուսու և մեկ զուգահեռագծի հետ ձևավորում են փազլ գլուխկոտրուկ։

Ծանոթագրություններ

1. Bell, Amy (2006), «Hansen's Right Triangle Theorem, Its Converse and a Generalization» (PDF), Forum Geometricorum, 6: 335–342
2. Posamentier, Alfred S., and Salkind, Charles T. Challenging Problems in Geometry, Dover, 1996.