Աբել-Պլանայի բանաձև

Աբել-Պլանայի բանաձևը մաթեմատիկայում հայտնի գումարման բանաձև է, որն իրարից անկախ ստացել են Նիլս Հենրիկ Աբելը (1823)^[1] և Ջովանի Անտոնիո Ամեդեո Պլանան (1820)^[2]։ Այդ բանաձևը հետևյալն է՝

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }f\left(k\right)=\int _{0}^{\infty }f\left(x\right)dx+{\frac {1}{2}}f\left(0\right)+i\int _{0}^{\infty }{\frac {f\left(ix\right)-f\left(-ix\right)}{e^{2\pi x}-1}}dx:}$

Այն ճիշտ է այնպիսի ${\displaystyle f\left(z\right)}$ ֆունկցիաների համար, որոնք հոլոմորֆ են ${\displaystyle \operatorname {Re} (z)\geqslant 0}$ տիրույթում և այդ տիրույթում բավարարում են որոշակի աճման պայմանի։

Ապացույց

Աբել-Պլանայի բանաձևի ստացման համար կարելի է օգտվել հետևյալ թեորեմից.

Թեորեմ.^[3] Եթե ${\displaystyle f\left(z\right)}$ ֆունկցիան հոլոմորֆ է ${\displaystyle a<\operatorname {Re} (z)<b}$ տիրույթում և բավարարում է հետևյալ անհավասարությանը՝

${\displaystyle \left\vert f\left(x+iy\right)\right\vert \leqslant Me^{a\left\vert y\right\vert },a<2\pi ,}$

ապա ${\displaystyle k\geqslant a+1,n\leqslant b-1,n>k}$ դեպքում և կամայական ${\displaystyle 0<\theta <1}$ համար

${\displaystyle \sum _{s=k}^{n}f\left(s\right)=\int _{k+\theta -1}^{n+\theta }f\left(x\right)dx+{\frac {1}{2i}}\int _{\theta }^{\theta +i\infty }\left[f\left(n+z\right)-f\left(k-1+z\right)\right]\left(\cot \pi z+i\right)dz+{\frac {1}{2i}}\int _{\theta }^{\theta -i\infty }\left[f\left(k-1+z\right)-f\left(n+z\right)\right]\left(\cot \pi z-i\right)dz:}$

Ապացույց. Հետագա հաշվարկների համար արվում են հետևյալ նշանակումները. ${\displaystyle C_{h}}$-ը ${\displaystyle k-1+\theta <\operatorname {Re} (z)<n+\theta ,\left\vert \operatorname {Im} (z)\right\vert <h}$ուղղանկյունն է, ${\displaystyle J}$-ն ${\displaystyle f\left(z\right)\cot \pi z}$ ֆունկցիայի ինտեգրալն է ${\displaystyle C_{h}}$ կոնտուրով, ${\displaystyle C_{h}^{+}}$-ը ${\displaystyle C_{h}}$ կոնտուրի վերին կեսն է, իսկ ${\displaystyle C_{h}^{-}}$-ը ստորին կեսը, ընդ որում՝ ${\displaystyle C_{h}^{+}}$-ը և ${\displaystyle C_{h}^{-}}$-ը ուղղված են ${\displaystyle z=k-1+\theta }$ կետից դեպի ${\displaystyle z=n+\theta }$ կետը։ ${\displaystyle k}$-ի և ${\displaystyle n}$-ի վրա դրված պայմաններից հետևում է, որ ${\displaystyle C_{h}}$-ը գտնվում է ${\displaystyle a<\operatorname {Re} (z)<b}$ տիրույթում։ Ըստ մնացքների մասին թեորեմի՝

${\displaystyle J=2\pi i\sum _{s=k}^{n}Res_{z=s}f\left(z\right)\cot \pi z=2i\sum _{s=k}^{n}f\left(s\right):}$

Մյուս կողմից ակնհայտ է, որ

${\displaystyle J=\int _{C_{h}^{-}}f\left(z\right)\cot \pi zdz-\int _{C_{h}^{+}}f\left(z\right)\cot \pi zdz=\int _{C_{h}^{-}}f\left(z\right)\left(\cot \pi z-i\right)dz+i\int _{C_{h}^{-}}f\left(z\right)dz-\int _{C_{h}^{+}}f\left(z\right)\left(\cot \pi z+i\right)dz+i\int _{C_{h}^{+}}f\left(z\right)dz:}$

${\displaystyle f\left(z\right)}$ ֆունկցիայի ինտեգրալը կախված է միայն ինտեգրման կոնտուրի ծայրակետերից, ուստի ${\displaystyle f\left(z\right)}$-ի ինտեգրալները՝ ըստ ${\displaystyle C_{h}^{+}}$ և ${\displaystyle C_{h}^{-}}$ կոնտուրների, կարելի է փոխարինել ինտեգրալներով՝ ըստ ${\displaystyle \left(k-1+\theta ,n+\theta \right)}$ միջակայքի։ Հետևաբար,

${\displaystyle J=2i\int _{k-1+\theta }^{n+\theta }f\left(x\right)dx+\int _{C_{h}^{-}}f\left(z\right)\left(\cot \pi z-i\right)dz-\int _{C_{h}^{+}}f\left(z\right)\left(\cot \pi z+i\right)dz:}$

Ակնհայտ է, որ

${\displaystyle \int _{C_{h}^{+}}f\left(z\right)\left(\cot \pi z+i\right)dz=\int _{\theta }^{\theta +ih}\left[f\left(k-1+z\right)-f\left(n+z\right)\right]\left(\cot \pi z+i\right)dz+\int _{k-1+\theta +ih}^{n+\theta +ih}f\left(z\right)\left(\cot \pi z+i\right)dz:}$

Օգտագործելով հետևյալ անհավասարությունները՝

${\displaystyle \left\vert \int _{k-1+\theta +ih}^{n+\theta +ih}f\left(z\right)\left(\cot \pi z+i\right)dz\right\vert \leqslant \left(n-k+1\right)\max _{k-1+\theta \leqslant x\leqslant n+\theta }\left\vert f\left(x+ih\right)\right\vert \cdot \left\vert \cot \pi \left(x+ih\right)+i\right\vert ,}$

${\displaystyle \left\vert \cot \pi \left(x+ih\right)+i\right\vert <{\frac {2}{e^{2\pi h}-1}},h>0,}$

ինչպես նաև հաշվի առնելով թեորեմի պայմաններում նշված անհավասարությունը, ստացվում է, որ

${\displaystyle \left\vert \int _{k-1+\theta +ih}^{n+\theta +ih}f\left(z\right)\left(\cot \pi z+i\right)dz\right\vert \leqslant \left(n-k+1\right)Me^{ah}{\frac {2}{e^{2\pi h}-1}}{\xrightarrow[{h\rightarrow +\infty }]{}}0,}$

և այստեղից հետևում է, որ

${\displaystyle \int _{C_{h}^{+}}f\left(z\right)\left(\cot \pi z+i\right)dz{\xrightarrow[{h\rightarrow +\infty }]{}}\int _{\theta }^{\theta +i\infty }\left[f\left(k-1+z\right)-f\left(n+z\right)\right]\left(\cot \pi z+i\right)dz:}$

Նմանատիպ ձևով կարելի է ցույց տալ, որ

${\displaystyle \int _{C_{h}^{-}}f\left(z\right)\left(\cot \pi z-i\right)dz{\xrightarrow[{h\rightarrow +\infty }]{}}\int _{\theta }^{\theta -i\infty }\left[f\left(k-1+z\right)-f\left(n+z\right)\right]\left(\cot \pi z-i\right)dz:}$

Ուստի

${\displaystyle J=2i\int _{k-1+\theta }^{n+\theta }f\left(x\right)dx+\int _{\theta }^{\theta -i\infty }\left[f\left(k-1+z\right)-f\left(n+z\right)\right]\left(\cot \pi z-i\right)dz+\int _{\theta }^{\theta +i\infty }\left[f\left(n+z\right)-f\left(k-1+z\right)\right]\left(\cot \pi z+i\right)dz:}$

Իրար հավասարեցնելով ${\displaystyle J}$-ի համար ստացված երկու արտահայտությունները՝ ստացվում է թեորեմում նշված բանաձևը։ ♦

Դիցուք ${\displaystyle f\left(z\right)}$ ֆունկցիան հոլոմորֆ է ${\displaystyle \operatorname {Re} (z)>0}$ կիսահարթությունում և բավարարում է հետևյալ անհավասարությանը՝

${\displaystyle \left\vert f\left(x+iy\right)\right\vert <\epsilon \left(x\right)e^{a\left\vert y\right\vert },0<a<2\pi ,}$

որտեղ ${\displaystyle \epsilon \left(x\right)\rightarrow 0}$, երբ ${\displaystyle x\rightarrow +\infty }$: Հաշվի առնելով, որ կամայական ${\displaystyle 0<\theta <1}$ համար

${\displaystyle \left\vert \int _{\theta }^{\theta \pm i\infty }f\left(n+z\right)\left(\cot \pi z\pm i\right)dz\right\vert \leqslant \epsilon \left(n+\theta \right)\int _{0}^{\infty }Me^{-\left(2\pi -a\right)y}dy{\xrightarrow[{n\rightarrow \infty }]{}}0,}$

վերը նշված թեորեմից անմիջապես հետևում է, որ

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\left\{\sum _{s=1}^{n}f\left(s\right)-\int _{\theta }^{n+\theta }f\left(x\right)dx\right\}={\frac {1}{2i}}\int _{\theta }^{\theta -i\infty }f\left(z\right)\left(\cot \pi z-i\right)dz-{\frac {1}{2i}}\int _{\theta }^{\theta +i\infty }f\left(z\right)\left(\cot \pi z+i\right)dz:}$

Այս բանաձևը նույնպես կոչվում է Աբել-Պլանայի բանաձև։ Այստեղ կարելի է անցում կատարել ${\displaystyle \theta \rightarrow 0}$ սահմանին։ Հաշվի առնելով, որ ${\displaystyle z=0}$ կետը հանդիսանում է բևեռ այդ բանաձևի աջ մասի ենթաինտեգրալային արտահայտությունների համար և, հետևաբար, շրջանցելով այն փոքր ${\displaystyle \rho }$ շառավղով ${\displaystyle C_{\rho }}$ շրջանագծի աղեղներով և ձգտեցնելով ${\displaystyle \rho \rightarrow 0}$, ստացվում է

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }f\left(k\right)=\int _{0}^{\infty }dxf\left(x\right)+{\frac {1}{2}}f\left(0\right)+i\int _{0}^{\infty }dx{\frac {f\left(ix\right)-f\left(-ix\right)}{e^{2\pi x}-1}}:}$

Սա Աբել-Պլանայի բանաձևն է՝ գրված ստանդարտ տեսքով։

Աբել-Պլանայի ընդհանրացված բանաձև

Արամ Սահարյանի^[4] կողմից ստացվել է Աբել-Պլանայի ընդհանրացված բանաձևը՝

${\displaystyle \lim _{b\rightarrow \infty }\left\{p.v.\int _{a}^{b}dxf\left(x\right)-R\left[f\left(z\right),g\left(z\right)\right]\right\}={\frac {1}{2}}\int _{a-i\infty }^{a+i\infty }dz\left[g\left(z\right)+\sigma \left(z\right)f\left(z\right)\right],}$

որտեղ

${\displaystyle \sigma \left(z\right)\equiv sgn\left(\operatorname {Im} (z)\right)}$,

${\displaystyle R\left[f\left(z\right),g\left(z\right)\right]\equiv \pi i\left[\sum _{k}Res_{z=z_{g,k}}g\left(z\right)+\sum _{k}\sigma \left(z_{f,k}\right)Res_{z=z_{f,k}}f\left(z\right)\right],}$

որում գումարումը կատարվում է ըստ ${\displaystyle z_{f,k}}$ և ${\displaystyle z_{g,k}}$ բևեռների, որոնք դասավորված են աճման կարգով՝ ${\displaystyle \operatorname {Re} (z_{j,k})\leqslant \operatorname {Re} (z_{j,k+1}),j=f,g}$:

Ընդ որում, ${\displaystyle f\left(z\right)}$-ը և ${\displaystyle g\left(z\right)}$-ը մերոմորֆ ֆունկցիաներ են կոմպլեքս ${\displaystyle z=x+iy}$ հարթության ${\displaystyle a\leqslant x\leqslant b}$ տիրույթում, իսկ ${\displaystyle z_{f,k}}$ և ${\displaystyle z_{g,k}}$ կետերը, համապատասխանաբար, ${\displaystyle f\left(z\right)}$-ի և ${\displaystyle g\left(z\right)}$-ի բևեռներն են ${\displaystyle a<x<b}$ տիրույթում (ենթադրվում է, որ ${\displaystyle \operatorname {Im} (z_{f,k})\neq 0}$), և ${\displaystyle f\left(z\right)}$ ու ${\displaystyle g\left(z\right)}$ ֆունկցիաները բավարարում են հետևյալ պայմաններին՝

${\displaystyle \lim _{h\rightarrow \infty }\int _{a\pm ih}^{b\pm ih}dz\left[g\left(z\right)\pm f\left(z\right)\right]=0,}$

${\displaystyle \lim _{b\rightarrow \infty }\int _{b}^{b\pm i\infty }dz\left[g\left(z\right)\pm f\left(z\right)\right]=0:}$

Աբել-Պլանայի ընդհանրացված բանաձևից, մասնավորապես, ${\displaystyle b=n+a,0<a<1}$ և ${\displaystyle g\left(z\right)=-if\left(z\right)\cot \pi z}$ դեպքում, երբ ${\displaystyle f\left(z\right)}$-ը անալիտիկ ֆունկցիա է, ստացվում է Աբել-Պլանայի բանաձևը։

Կիրառությունները ֆիզիկայում

Ֆիզիկայի որոշ խնդիրներում դիտարկվում են սահմանների առկայությամբ այնպիսի մոդելներ, որոնց սահմաններին դինամիկ փոփոխականները բավարարում են որոշակի պայմանների։ Դաշտի քվանտային տեսությունում այդ սահմանային պայմանները ձևափոխում են դաշտերի քվանտային ֆլուկտուացիաների սպեկտրը, իսկ դրա հետևանքով փոխվում են ֆիզիկական մեծությունների միջին արժեքները։ Սա հայտնի Կազիմիրի էֆեկտն է, որը ֆիզիկական վակուումի ոչ տրիվիալ հատկությունների միակ մակրոսկոպական դրսևորումն է։ Կան այս երևույթի տեսական ուսումնասիրության տարբեր եղանակներ՝ մոդաների գումարման մեթոդ, Գրինի ֆունկցիայի ֆորմալիզմ, զետա-ֆունկցիայի ռեգուլյարիզացիայի մեթոդ և այլն։ Այստեղ գլխավորը ի հայտ եկող տարամիտություններն առանձնացնելն ու հեռացնելն է։ Մոդաների գումարման մեթոդով ֆիզիկական մեծությունների (օրինակ՝ էներգիա-իմպուլսի թենզորի) վակուումային միջինները հաշվելիս հաճախ կարիք է լինում ստանալ որոշակի ֆունկցիայի գումարը՝ ըստ ամբողջ թվերի, այնուհետև այդ գումարից հանել համապատասխան մեծությունը սահմանների բացակայությամբ տարածության դեպքում։ Հանվող մեծությունը հաճախ ներկայացվում է ինտեգրալի տեսքով։ Այդ գումարը և ինտեգրալը, առանձին վերցրած, տարամիտող են և դրանց վերջավոր տարբերությունը հարմար է ստանալ Աբել-Պլանայի բանաձևի միջոցով։ Այս տեսանկյունից Աբել-Պլանայի բանաձևը կիրառելի է այն դեպքերում, երբ սեփական մոդաները պարզ կախվածություն ունեն քվանտային թվերից և բացահայտ կերպով տրված են։ Ավելի բարդ դեպքերում, երբ սեփական մոդաները որոշված չեն բացահայտ կերպով և հանդիսանում են որոշակի տրանսցենդենտ հավասարման լուծումներ, հարմար է օգտվել Աբել-Պլանայի ընդհանրացված բանաձևից։ Սահմանների առկայությամբ կոր ֆոնային տարածաժամանակների համար Աբել-Պլանայի ընդհանրացված բանաձևի կիրառումը վակուումային միջիններից առանձնացնում է այն մասերը, որոնք համապատասխանում են վակուումի բևեռացմանը այն դեպքում, երբ սահմաններ չկան։ Արդյունքում սահմաններով պայմանավորված մասերը ներկայացվում են այնպիսի ինտեգրալների տեսքով, որոնք զուգամիտում են սահմաններից հեռու կետերի համար։ Այսպիսով՝ Աբել-Պլանայի բանաձևի ընդհանրացումն էապես ընդլայնում է դրա կիրառությունների տիրույթը։

Ծանոթագրություններ

1. N.H. Abel, Solution de quelques problèmes à Ǐaide d'integrales définies, Euvres Complètes d'Abel, ed. Sylow-Lie, Vol.1, 11 (1823).
2. G.A.A. Plana, Mem. della R. Acad. di Torino XXV, 403 (1820).
3. М.А. Евграфов, Аналитические функции (Наука, Москва, 1991).
4. A. A. Saharian, The Generalized Abel–Plana Formula with Applications to Bessel Functions and Casimir Effect (Yerevan State University Publishing House, Yerevan, 2008), Report No. ICTP/2007/082, arXiv:0708.1187.