Գծային համակարգ

Գծային համակարգերի շարժման ըստ կարևորության ղեկավարելիության մասին

Դիտարկենք հետևյալ դիֆերենցիալ հավասարումների համակարգը՝

${\displaystyle {{\dot {x}}_{j}}(t)=\sum \limits _{s=1}^{n}{{a_{js}}(t){x_{s}}}+\sum \limits _{i=1}^{k}{\alpha _{i}}\left({\sum \limits _{s=1}^{r_{i}}{b_{js}^{(i)}(t)u_{s}^{(i)}}}\right)\quad \quad (j=1,...,n)}$(1.1)

Սահմանենք (1.1) համակարգի լրիվ ղեկավարելիությունը։

Սահմանում [1]։ (1.1) համակարգը կանվանենք լրիվ ղեկավարելի ${\displaystyle \left[{{t_{0}},{t_{1}}}\right]}$ ժամանակահատվածի վրա, եթե ${\displaystyle \{{u^{(1)}},\ldots ,{u^{(k)}}\}}$ ղեկավարումների համախմբությունից կարելի է գտնել այնպիսի ղեկավարումներ, որոնց ազդեցությամբ (1.1) համակարգը կամայական ${\displaystyle x({t_{0}})}$ սկզբնական դիրքից կարելի է տեղափոխել կամայական ${\displaystyle x({t_{1}})}$ վերջնական դիրք։

(1.1) համակարգի ղեկավարելիության ուսումնասիրության համար նպատակահարմար է կատարել հետևյալ նշանակումները [1]

${\displaystyle B(t,\alpha )=(\alpha _{1}B^{(1)}(t),\ldots ,\alpha _{k}B^{(k)}(t)),\,U=\left({\begin{array}{c}u^{(1)}\\\vdots \\u^{(k)}\end{array}}\right)}$(1.2)

Այստեղ ${\displaystyle B(t,\alpha )}$ մատրիցը ունի ${\displaystyle (n\times r)}$ չափողականություն, որտեղ ${\displaystyle r={\underset {i=1}{\overset {k}{\sum }}}r_{i},\,\alpha }$ պարամեարերի համախմբությունը, իսկ U վեկտոր-սյան չափողականությունը հավասար է r։

Հաշվի առնելով (1.2) նշանակումները (1.1) համակարգը կարելի է գրել հետևյալ տեսքով

${\displaystyle {\dot {x}}=A(t)x+B(t,\alpha )U}$(1.3)

Ենթադրենք ${\displaystyle A(t)}$ և ${\displaystyle B(t,\alpha )}$ մատրիցների էլեմենտները համապատասխանաբար ունեն ընդհուպ մինչև ${\displaystyle (n-2)}$–րդ և ${\displaystyle (n-1)}$–րդ կարգի անընդհատ ածանցյալներ ըստ t-ի, ${\displaystyle \left[{{t_{0}},{t_{1}}}\right]}$ հատվածի գոնե ինչ-որ ${\displaystyle t={t_{*}}}$ կետի շրջակայքում։ Այդ ${\displaystyle t={t_{*}}}$ կետի շրջակայքում ներմուծենք ${\displaystyle {L_{k}}(t,\alpha )}$ մատրիցները հետևյալ ռեկուրենտ (անդրադարձ) առնչություններով՝

${\displaystyle {L_{1}}(t,\alpha )=B(t,\alpha ),\;{L_{j}}(t,\alpha )=A(t){L_{j-1}}(t,\alpha )-{\frac {d{L_{j-1}}(t,\alpha )}{dt}},\;(j=2,...,n)}$(1.4)

Հետևաբար, համաձայն [2], (1.3) ոչ ստացիոնար համակարգի համար տեղի ունի հետևյալ թեորեմը (լրիվ ղեկավարելիության բավարար պայմանը) [1]

Թեորեմ 1: Դիցուք ${\displaystyle \left[{{t_{0}},{t_{1}}}\right]}$ հատվածում գոյություն ունի ${\displaystyle t={t_{*}}}$ կետ, որում

${\displaystyle K(t,\alpha )=\{{L_{1}}(t,\alpha ),\ldots ,{L_{n}}(t,\alpha )\}}$(1.5)

մատրիցի ռանգը հավասար է n-ի։ Այդ դեպքում (1.3) համակարգը լրիվ ղեկավարելի է հատվածի վրա։

Եթե (1.3) համակարգը ստացիոնար է, այսինքն՝

${\displaystyle {\dot {x}}=Ax+B(\alpha )U}$(1.6)

ապա ${\displaystyle K(t,\alpha )=K(\alpha )}$ մատրիցը, համաձայն (1.4)-ի կընդունի հետևյալ պարզ տեսքը

${\displaystyle K(\alpha )=\{B(\alpha ),AB(\alpha ),\ldots ,{A^{n-1}}B(\alpha )\}}$(1.7)

(1.5)-ը և (1.7)-ը Կալմանի մատրիցներն են համապատասխանաբար ոչ ստացիոնար՝ (1.3) և ստացիոնար՝ (1.6) համակարգերի համար։

Թեորեմ 2: Որպեսզի (1.6) ստացիոնար համակարգը լինի լրիվ ղեկավարելի կամայական ${\displaystyle \left[{{t_{0}},{t_{1}}}\right]}$ հատվածի վրա, անհրաժեշտ է և բավարար, որ ղեկավարելիության ${\displaystyle K(\alpha )}$ (1.7) մատրիցի ռանգը հավասար լինի n-ի։

Այս թեորեմների ապացույցը կատարվում է [2]-ում բերված համանման թեորեմների ապացույցների ձևով։

Հարկ է նշել, որ մի քանի ${\displaystyle {u^{(i)}}\;(i=1,...,k)}$ ղեկավարող ազդեցություններով համակարգի ղեկավարման հնարավորության դեպքում, լրիվ ղեկավարելիության հատկությունը ընդունում է առանձնահատուկ տեսք։

Որպես օրինակ դիտարկենք հետևյալ համակարգը

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{c}{\dot {{x}_{1}}}=x_{1}+2x_{2}+\alpha _{1}u_{1}-\alpha _{2}u_{2}\\{\dot {{x}_{2}}}=2x_{1}+x_{2}+\alpha _{1}u_{1}-\alpha _{2}u_{2}\end{array}}\right.}$(1.8)

Կազմենք այս համակարգի համար Կալմանի մատրիցները (երբ ${\displaystyle {\alpha _{2}}=0,\;{\alpha _{1}}=0}$ և միաժամանակ ${\displaystyle {\alpha _{1}}\neq 0,\;{\alpha _{2}}\neq 0}$ դեպքերում)։

${\displaystyle K_{1}(\alpha _{1})=\left({\begin{array}{cc}\alpha _{1}&3\alpha _{1}\\\alpha _{1}&3\alpha _{1}\end{array}}\right),\,}$

${\displaystyle K_{2}(\alpha _{2})=\left({\begin{array}{cc}-\alpha _{2}&\alpha _{2}\\\alpha _{2}&-\alpha _{2}\end{array}}\right),\,}$

${\displaystyle K(\alpha _{1},\alpha _{2})=\left({\begin{array}{cccc}\alpha _{1}&-\alpha _{2}&3\alpha _{1}&\alpha _{2}\\\alpha _{1}&\alpha _{2}&3\alpha _{1}&\alpha _{2}\end{array}}\right)}$

Ղեկավարելիության մատրիցների տեսքերից երևում է, որ (1.8) համակարգը առանձին-առանձին ըստ ${\displaystyle {u_{1}}}$ ղեկավարման կամ ${\displaystyle {u_{2}}}$ ղեկավարման լրիվ ղեկավարելի չէ, քանի որ ${\displaystyle {K_{1}}({\alpha _{1}})}$ և ${\displaystyle {K_{2}}({\alpha _{2}})}$ մատրիցների ռանգերը հավասար չեն 2-ի։ Իսկ ${\displaystyle {u_{1}}}$ և ${\displaystyle {u_{2}}}$ ղեկավարումների միաժամանակ առկայության դեպքում ${\displaystyle K({\alpha _{1}},{\alpha _{2}})}$ մատրիցի ռանգը 2 է, այսինքն՝ (1.8) համակարգը ${\displaystyle {u_{1}}}$ և ${\displaystyle {u_{2}}}$ ղեկավարումների համախմբությամբ լրիվ ղեկավարելի է։

Արտաքին հղումներ

• Ֆեյնմանի դասախոսությունը գծային համակարգերի մասին

Այս հոդվածի կամ նրա բաժնի որոշակի հատվածի սկզբնական կամ ներկայիս տարբերակը վերցված է Քրիեյթիվ Քոմմոնս Նշում–Համանման տարածում 3.0 (Creative Commons BY-SA 3.0) ազատ թույլատրագրով թողարկված Հայկական սովետական հանրագիտարանից  (հ․ 3, էջ 105)։