Կիսապարագիծ

Կիսապարագիծ, բազմանկյան կիսապարագիծ, նրա պարագծի կեսին հավասար մեծություն։ Չնայած, որ կիսապարագիծը հանդիսանում է պարագծի շատ պարզ ածանցիալը, հաճախ է հանդիպում եռանկյան և այլ երկրաչափական պատկերների բանաձևերում։ Նրան տվել են առանձին անվանում և բանաձևերում նշանակում են P տառով։

Եռանկյուններ

Նկ․1․Եռանկյան կողմերի շարունակություններին ներգծած շրջանագծեր

Կիսապարագիծը հաճախ օգտագործվում եռանկյունների համար։ a, b և c կողմերով եռանկյան կիսապարագծի բանաձևն է․

${\displaystyle p={\frac {a+b+c}{2}}.}$

Հատկություններ

Նկ․1․-ում ցույց են տրված եռանկյան A, B, C կողմերը և A', B', C', շրջանագծերի շոշափման կետերը։ Այդ դեպքում․

${\displaystyle p=|AB|+|A'B|=|AB|+|AB'|=|AC|+|A'C|}$

${\displaystyle =|AC|+|AC'|=|BC|+|B'C|=|BC|+|BC'|.}$

Երեք հատվածները, որոնք միացնում են գագաթները հանդիպակած կողմի շոշափման կետերի հետ, հատվում են մի կետում, որը կոչվում է Հեգելի կետ։

Դիտարկենք այն հատվածները, որոնք կողմի միջնակետերը միացնում են այն կետերի հետ, որ հեռացված են կողմի երկայնքով կիսապարագծի չափով։ Կտեսնենք, որ դրանք հատվում են մի կետում։ Այդ կետը կոչվում է Շպիկերի շրջանագծի կենտրոն։ Շպիկերի կենտրոնը եռանկյան ծանրության կենտրոնն է։

Եռանկյան ներգծված շրջանագծի կենտրոնով անցնող ուղիղը բաժանում է պարագիծը երկու հավասար մասերի՝ այն և միայն այն դեպքում, երբ այն բաժանում է մակերեսը երկու հավասար մասերի։

Եռանկյան կիսապարագիծը հավասար է միջնագծերով կազմված եռանկյան պարագծին։

Առանկյան ամենամեծ կողմը մեծ չէ կիսապարագծից։

Կիսապարագծով բանաձևեր

Ցանկացած եռանկյան մակերեսը հավասար է իր ներգծած շրջանագծի r շառավղի և p կիսապարագծի արտադրյալին։

${\displaystyle S=rp.}$

Հերոնի բանաձևը եռանկյան s մակերեսը հաշվելու համար (a, b, c եռանկյան կողմեր, p կիսապարագիծ)։

${\displaystyle S={\sqrt {p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}}.}$

Արտագծած շրջանագծի R շառավիղը կարելի է հաշվել կիսապարագծի և կողմերի երկարության միջոցով։

${\displaystyle R={\frac {abc}{4{\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}}}.}$

Այս բանաձևը կարելի է դուրս բերել սինուսների թեորեմից։

Ներգծված շրջանագծի շառավիղը հավասար է․

${\displaystyle r={\sqrt {\frac {(p-a)(p-b)(p-c)}{p}}}.}$

Կոտանգենսների թեորեմը տալիս է եռանկյան գագաթի անկյան մեծության կեսի տանգենսը կիսապարագծով։

a կողմի դիմացի անկյան կիսորդի երկարությունը հավասար է^[1]․

${\displaystyle t_{a}={\frac {2{\sqrt {bcp(p-a)}}}{b+c}}.}$

Ուղղանկյուն եռանկյան արտագծած շրջանագծի շառավիղը հավասար է ներգնաձիգի կեսին։

Կիսապարագիծը հավասար է ներգծած շրջանագծի շառավղի և արտագծած շառավղի կրկնապատիկի գումարին։

Ուղղանկյուն եռանկյան մակերեսը հավասար է․

${\displaystyle s=(p-a)(p-b)}$, որտեղ a և b  էջերն են։

Քառանկյուններ

a, b, c և d կողմերով քառանկյան կիսապարագծի հաշվման բանաձևըն է․

${\displaystyle p={\frac {a+b+c+d}{2}}.}$

Քառանկյան մակերեսը հավասար է նրան ներգծած շրջանագծի շառավղի և կիսապարագծի արտադրյալին․

${\displaystyle S=rp.}$

Բրահմագուպտայի բանաձևը քառանկյան մակերեսի համար․

${\displaystyle S={\sqrt {\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)\left(p-d\right)}}.}$

Բրետշնայդերի բանաձևն իր մեջ ընդհանրացնում է բոլոր տիպի ուռուցիկ քառանկյունների մակերեսների բանաձևերը։

${\displaystyle S={\sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-abcd\cdot \cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right)}},}$

որեղ ${\displaystyle \alpha }$-ն և ${\displaystyle \gamma }$-ն հանդիպակած անկյուններ են։

Կանոնավոր բազմանկյուն

Ուռուցիկ կանոնավոր քառանկյան մակերեսը հավասար է իր կիսապարագծի և կենտրոնից, կաղմերից մեկի հեռավորության արտադրյալին։

Ծանոթագրություն

1. Johnson, 2007, էջ 70

Գրականություն

• Roger A. Johnson Advanced Euclidean Geometry. — Dover Publ., 2007. (Переиздание книги 1929 года)

Արտաքին հղումներ

• Մաթեմատիկա
• Երկրաչափություն
• Եռանկյուն
• Պարագիծ
• Հերոնի բանաձև