Հաշվողական տեսակավորում

Հաշվողական տեսակավորում
Տեսակ	տեսակավորման ալգորիթմ
Տվյալների կառուցվածք	${\displaystyle O(n+k)}$
Վատագույն դեպքում կատարումը	${\displaystyle O(n+k)}$
Օգտագործում է	զանգված

Հաշվողական տեսակավորումը տեսակավորման ալգորիթմ է, որում օգտագործվում է տեսակավորվող զանգվածի թվերի շարքը՝ համընկնող էլեմենտների տեսակավորման համար։ Հաշվողական տեսակավորման կիրառությունը ամբողջական է միայն այն ժամանակ, երբ տեսակավորվող թվերն ունեն հնարավոր նշանակության շարքեր, որը բավականին փոքր է տեսակավորվող բազմության հետ համեմատած, օրինակ՝ 1000-ից փոքր միլիոն բնական թվեր։ Ալգորիթմի արդյունավետությունը նվազում է, եթե մի քնի տարբեր էլեմենտների մեկ բջջի մեջ ընկնելու դեպքում անհրաժեշտ է լինում դրանք կրկին տեսակավորել։ Բջջի ներսում տեսակավորման անհրաժեշտությունը կորցնում է ալգորիթմի իմաստը, քանի որ յուրաքանչյուր էլեմենտ ստիպված կլինենք դիտարկել մեկ անգամից ավելի։ Ենթադրենք, որ մուտքային զանգվածը բաղկացած է ${\displaystyle n}$ հատ ամբողջ թվերից՝0-ից ${\displaystyle k-1}$ միջակայքում, որտեղ ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$։ Հետագայում ալգորիթմը կընդհանրացվի կամայակն ամբողջ թվերի շարքի համար։ Գոյություն ունեն մի քանի հաշվողական տեսակավորման ձևեր. ներքևում դիտարկված են երեք գծային և մեկ քառակուսային ձևեր։ Վերջինս օգտագործում է այլ մոտեցում, բայց ունի նույն իմաստը։

Պարզ ալգորիթմ

Սա ալգորիթմի պարզագույն տեսակն է։ Ստեղծել զրոներից բաղկացած օժանդակ C[0..k - 1] զանգված, այնուհետև հաջորդականությամբ կարդալ մուտքային A մատրիցի էլեմենտները, յուրաքանչյուր A[i] համար ընդլայնել C[A[i]] մեկ միավորով։ Այժմ բավարար է անցնել C մատրիցով, յուրաքանչյուր ${\displaystyle j\in \{0,...,k-1\}}$ համար A մատրիցում համապատասխանաբար գրել j թիվը C[j] անգամ։

SimpleCountingSort
    for i = 0 to k - 1
        C[i] = 0;
    for i = 0 to n - 1
        C[A[i]] = C[A[i]] + 1;
    b = 0;
    for j = 0 to k - 1
        for i = 0 to C[j] - 1
            A[b] = j;
            b = b + 1;

Ցուցակով ալգորիթմ

Այս տարբերակը (անգլ.՝ pigeonhole sorting, count sort) օգտագործվում է, երբ մուտքին տրվում է տվյալների ստրուկտուրային զանգված, որն անհրաժեշտ է տեսակավորել ըստ բանալիների (key)։ Անհրաժեշտ է ստեղծել օժանդակ C[0..k - 1] զանգված, հետագայում յուրաքանչյուր C[i] կպարունակի մուտքային զանգվածի էլեմենտների ցանկը։ Այնուհետև հերթականությամբ կարդալ մուտքային A զանգվածի էլեմենտները, յուրաքանչյուր A[i] ավելացնել C[A[i].key] զանգվածի մեջ։ Վերջում անցնել C զանգվածով, յուրաքանչյուր ${\displaystyle j\in \{0,...,k-1\}}$ համար A զանգվածում համապատասխանաբար գրել C[j] էլեմենտները։ Ալգորիթմը կայուն է.

ListCountingSort
    for i = 0 to k - 1
        C[i] = NULL;
    for i = 0 to n - 1
        C[A[i].key].add(A[i]);
    b = 0;
    for j = 0 to k - 1
        p = C[j];
        while p != NULL
            A[b] = p.data;
            p = p.next();
            b = b + 1;

Կայուն ալգորիթմ

Այս տարբերակում բացի մուտքային A զանգվածից անհրաժեշտ կլինեն երկու օժանդակ զանգվածներ՝ C[0..k - 1] հաշվիչի համար, և B[0..n - 1]` տեսակավորված զանգվածի համար։ Սկզբում պետք է C զանգվածում լրացնել զրոներ, և յուրաքանչյուր A[i] համար C[A[i]] մեծացնել մեկով։ Այնուհետև հաշվարկվում է էլեմենտների թիվը` ընթացիկից փոքր կամ հավասար։ Դրա համար յուրաքանչյուր C[j], սկսած C[1]-ից, ընդլայնում են C[j - 1]-ով։ Ալգորիթմի վերջին քայլում կարդում են մուտքային զանգվածը վերջից, C[A[i]] նշանակությունը փոքրացվում է մեկով, և յուրաքանչյուր B[C[A[i]]]-ում գրանցվում է code>A[i]։ Ալգորիթմը կայուն է։

StableCountingSort
    for i = 0 to k - 1
        C[i] = 0;
    for i = 0 to n - 1
        C[A[i]] = C[A[i]] + 1;
    for j = 1 to k - 1
        C[j] = C[j] + C[j - 1];
    for i = n - 1 to 0
        C[A[i]] = C[A[i]] - 1;
        B[C[A[i]]] = A[i];

Կամայական ամբողջ թվերի շարքի ընդհանրացում

Այստեղ ծագում են մի քանի հարցեր. ինչ անել, եթե արժեքների (min и max) շարքերը նախապես հայտնի չեն։ Ինչ անել, եթե մինիմալ արժեքները մեծ են զրոյից կամ տեսակավորվող տվյալներում առկա են բացասական թվեր։ Առաջին հարցը կարելի է որոշել min-ի և max-ի գծային փնտրմամբ, որը չի ազդի ալգորիթմի ասիմետրիկայի վրա։ Երկրորդ հարցը մի փոքր ավելի բարդ է։ Եթե min-ը մեծ է զրոյից, ապա անհրաժեշտ է C զանգվածի հետ աշխատելիս A[i]-ից դուրս բերել min-ը, իսկ հակառակ դեպքում՝ ավելացնել։ Բացասական թվերի առկայության դեպքում C զանգվածի հետ աշխատանքի ժամանակ պետք է A[i]-ին ավելացնել |min|, իսկ հակառակ գրանցման դեպքում՝ դուրս բերել։

Վերլուծություն

Առաջին երկու ալգորիթմերում առաջին երկու ցիկլերը աշխատում են համապատասխանաբար ${\displaystyle \Theta (k)}$ և ${\displaystyle \Theta (n)}$ համար, կրկնակի ցիկլը՝ ${\displaystyle \Theta (n+k)}$ համար։ Երրորդ ալգորիթմում ցիկլը զբաղեցնում են համապատասխանաբար ${\displaystyle \Theta (k)}$, ${\displaystyle \Theta (n)}$, ${\displaystyle \Theta (k)}$ և ${\displaystyle \Theta (n)}$։ Արդյունքում՝ բոլոր երեք ալգորիթմերն էլ ունեն գծային ժամանակավոր ${\displaystyle \Theta (n+k)}$ աշխատունակություն։ Առաջին երկու ալգորիթմերում օգտագործվող հիշողությունը հավասար է ${\displaystyle \Theta (k)}$, իսկ երրորդում՝ ${\displaystyle \Theta (n+k)}$։

Հաշվողական տեսակավորման քառակուսային ալգորիթմ

Այստեղ օգտագործվում են մուտքային A զանգվածը և B օժանդակ զանգվածը՝ տեսակավորված բազմության համար։ Ալգորիթմում անհրաժեշտ է A[i] մուտքային զանգվածի յուրաքանչյուր էլեմենտի համար հաշվարկել ${\displaystyle c_{1}}$-ից փոքր էլեմենտների թիվը, և դրան հավասար, բայց ${\displaystyle c_{2}}$ (${\displaystyle c=c_{1}+c_{2}}$)-ից առաջ գտնվող էլեմենտների թիվը։ Այնուհետև B[c] փոխանցել A[i]։ Ալգորիթմը կայուն է։

SquareCountingSort
    for i = 0 to n - 1
        c = 0;
        for j = 0 to i - 1
            if A[j] <= A[i]
                c = c + 1;
        for j = i + 1 to n - 1
            if A[j] < A[i]
                c = c + 1;
        B[c] = A[i];

Վերլուծություն

Ակնհայտ է, որ ալգորիթմի ժամաննակավոր գնահատականը հավասար է ${\displaystyle \Theta (n^{2})}$, հիշողությունը՝ ${\displaystyle \Theta (n)}$։

Իրագործման օրինակներ

C

Պարզ ալգորիթմ։

void CountingSort (int *a, int n, int min, int max)
{
  int i, j, c;
  int *b;
  assert(n > 0);
  assert(min <= max);
  b = (int *)calloc(max - min + 1, sizeof(int));
  assert(b != NULL);
  for (i = 0; i <= n - 1; ++i) ++b[a[i] - min];
  for (j = min; j <= max; ++j)
  {
    c = b[j - min];
    while (c > 0)
    {
      *a = j; ++a; --c;
    }
  }
  free(b);
}

Բաղադրիչային Պասկալ

Պարզ ալգորիթմ

PROCEDURE CountingSort (VAR a: ARRAY OF INTEGER; min, max: INTEGER);
  VAR
    i, j, c: INTEGER;
    b: POINTER TO ARRAY OF INTEGER;
BEGIN
  ASSERT(min <= max);
  NEW(b, max - min + 1);
  FOR i := 0 TO LEN(a) - 1 DO INC(b[a[i] - min]) END;
  i := 0;
  FOR j := min TO max DO
    c := b[j - min];
    WHILE c > 0 DO
      a[i] := j; INC(i); DEC(c)
    END
  END
END CountingSort;

C#

Հաշվողական տեսակավորման քառակուսային ալգորիթմ

using System;
    class Program
    {
        static void Main(string[] args)
        {
            //զանգվածի գեներացում օրինակի համար
            Random rnd=new Random();
            int[] arr=(new int[100]).Select(x => rnd.Next(10)).ToArray();
            int[] b = new int[100];
            //ինքը` ալգորիթմը
            for (int i = 0; i < arr.Length ; i++)
            {
                int c = 0;

                for (int j = 0; j < i ; j++)
                {
                    if (arr[j] <= arr[i])
                    {
                        c++;
                    }

                }

                for (int j = i + 1; j < arr.Length ; j++)
                {
                    if (arr[j] < arr[i])
                    {
                        c++;
                    }
                }

                b[c] = arr[i];
            }
        }
    }

Դիտեք նաև

• Տեսակավորման ալգորիթմ
• O-մեծ
• Ալգորիթմի ժամանակավոր բարդություն

Գրականություն

• Ананий В. Левитин, Գլուխ 7. ժամանակավոր փոխզիջում։ Հաշվողական տեսակավորում, Ալգորիթմեր։ ներածություն և վերլուծություն, Մ., ««Վիլյամս»» — 307 - 310, էջեր 307 - 310 — 307 - 310 էջ, ISBN 5-8459-0987-2։

• Кормен, Томас Х., Лейзерсон, Чарльз И., Ривест, Рональд Л., Штайн, Клифорд, Գլուխ 8. Տեսակավորում գծային ժամանակի համար, Ալգորիթմեր։ ներածություն և վերլուծություն (2-րդ հրատարակություն), Մ., ««վիլյամս»» — 224 - 226, էջեր 224 - 226 — 224 - 226 էջ, ISBN 5-8459-0857-4։

Արտաքին հղումներ

• Counting Sort visualization