Պելի թիվ

Կանոնավոր ութանկյան ռացիոնալ մոտարկում (Պելի թվերով կոորդինատներով)

Պելի թիվ, ամբողջ թիվ, երկուսից քառակուսի արմատին հավասար կոտորակների անվերջ շարքի մեջ մտնող, կոտորակների հայտարար։ Այդ շարքը սկսվում է հետևյալ կերպ ${\displaystyle {\frac {1}{1}},{\frac {3}{2}},{\frac {7}{5}},{\frac {17}{12}},{\frac {41}{29}},\dots }$, այսինքն, Պելի առաջին թվերը ՝ 1, 2, 5, 12 և 29 են։ Այդ նույն շարքի համարիչ են համարվում Պելի թվերին համարժեք թվերի կեսը կամ Պել-Լյուկի թվերը՝ անվերջ շարք, որը սկսվում է 2, 6, 14, 34 և 82 -ով։

Պելի թվերը և Պել-Լյուկի թվերը կարող ենք հաշվել՝ ֆիբոնաչիի թվերի նման, ռեկուրենտ հարաբերակցությամբ, և երկու շարքն էլ աճում են էքսպոնենցիալ ձևով, արծաթե հատման աստիճանին համեմատական՝ ${\displaystyle 1+{\sqrt {2}}}$։

Բացի կոտորակային շղթայից, Պելի թվերը կարելի է օգտագործել նաև որոշ համակցված խնդիրների թվարկման համար^[1]։

Պելի թվերի շարքը հայտնի է հին ժամանականերից։ Ինչպես Պելի հավասարումը, այնպես էլ Պելի թվերը, Լենարդ Էյլերի կողմից, սխալմամբ են վերագրված Պելին։ Դրանք իրականում Լյուկի շարքերի հետևանքներն են հանդիսանում։

Պելի թվեր

Պելի թվերը տրվում են ռեկուրենտ գծային հարաբերակցությամբ՝

${\displaystyle P_{n}={\begin{cases}0,n=0;\\1,n=1\\2P_{n-1}+P_{n-2},n>1\end{cases}}}$

և հանդիսանում են Լյուկի շարքի մասնավոր դեպք։

Պելի առաջին մի քանի թվերը

0

, 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985, 2378, … (A000129-ի հաջորդականությունը OEIS-ում).

Պելի թվերը կարելի է արտահայտել հետևյալ բանաձևով՝

${\displaystyle P_{n}={\frac {(1+{\sqrt {2}})^{n}-(1-{\sqrt {2}})^{n}}{2{\sqrt {2}}}}.}$

n-ի մեծ արժեքների դեպքում ${\displaystyle \scriptstyle (1+{\sqrt {2}})^{n}}$ տրված արտահայտության մեջ գլխավորում է, քանի որ, Պելի թվերը մոտավոր համեմատական են արծաթե հատման աստիճաններին${\displaystyle \scriptstyle (1+{\sqrt {2}})}$, համանման ձևով՝ Ֆիբոնաչիի թվերը համեմատական են ոսկե հատմանը։

Հնարավոր է երրորդ սահմանումը, մատրիցայի ձևով

${\displaystyle {\begin{pmatrix}P_{n+1}&P_{n}\\P_{n}&P_{n-1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&1\\1&0\end{pmatrix}}^{n}.}$

Շատ նույնություններ կարող են ապացուցվել այս սահմանումներով, օրինակ, Ֆիբոնաչիի թվերի համար Կասինի նույնությանը համանման նույնությունը, որպես մատրիցային ձևի հետևանք բանաձև^[2]։

${\displaystyle P_{n+1}P_{n-1}-P_{n}^{2}=(-1)^{n},}$

Մոտարկում քառակուսի արմատ երկուսից

Պելի թվերը պատմականորեն առաջացել են երկուսից քառակուսի արմատի մոտարկումից։ Եթե երկու x և y մեծ մբողջ թվերը տալիս են Պելի հավասարման լուծում,

${\displaystyle \displaystyle x^{2}-2y^{2}=\pm 1,}$

ապա դրանց ${\displaystyle {\tfrac {x}{y}}}$հարաբերությունը մոտրակումն է ${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {2}}}$։ Այդ տիպի մոտարկման շարքն է․

${\displaystyle 1,{\frac {3}{2}},{\frac {7}{5}},{\frac {17}{12}},{\frac {41}{29}},{\frac {99}{70}},\dots }$

որտեղ՝ յուրաքանչյուր կոտորակի հայտարարը Պելի թիվ է, իսկ համարիչը հավասար է Պելի թվի և իր նախորդի գումարին։ Այսպիսով, մոտարկումն ունի հետևյալ տեսքը ${\displaystyle {\tfrac {P_{n-1}+P_{n}}{P_{n}}}}$.

${\displaystyle {\sqrt {2}}\approx {\frac {577}{408}}}$ տեսքի մոտարկումները հայտնի էր Ք․ա երրորդ-չորրորդ դարերում Հնդկաստանի մաթեմատիկոսներին^[3]։

Ք․ա. հինգերորդ դարի հունական մաթեմատիկոսները նույնպես գիտեին այդ մոտարկման մասին^[4]։ Պլատոնը(Plato) հղում է կատարում համարիչներին, որպես ռացիոնալ տրամագծեր^[5]։ Մեր թվարկության հինգերորդ դարում Թեոնոս Սմիրնացին օգտագործել է կողմ և տրամագիծ եզրերը, որպեսզի նկարագրի այդ շարքի հայտարարներն ու համարիչները^[6]։

Այդ մոտարկումները կարելի է ստանալ ${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {2}}}$ շղթայական կոտորակից․

${\displaystyle {\sqrt {2}}=1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+\ddots \,}}}}}}}}}}.}$

Պյութագորասի եռյակներ

Համարյա հավասար էջերով և ամբողջ կոորդինատներովեռանկյուններ(ստեղծված են Պելի թվերով)։

a, b, c կողմերով Պյութագորասի եռանկյան համար Մարտինեսը (Martin 1875) գրում է, որ Պելի թվերով կարելի է կառուցել պյութագորասյան եռյակ, որոնցում a և b տարբերվում են մեկով։ Ապա կարելի է կառուցել համարյա հավասարասրուն եռանկյուն, որում եռյակն ունի հետևյալ տեսքը․

${\displaystyle (2P_{n}P_{n+1},P_{n+1}^{2}-P_{n}^{2},P_{n+1}^{2}+P_{n}^{2}=P_{2n+1}).}$

Պյութագորասի եռյակը ստացվում է հետևյալ կերպ․

(4,3,5), (20,21,29), (120,119,169), (696,697,985), ….

Հաշվարկներ և կապեր

Այս աղյուսակը տալիս է մի քանի արծաթե հատումների առաջին աստիճանները ${\displaystyle \delta =\delta _{S}=1+{\sqrt {2}}}$ և դրա հետ կապված ${\displaystyle {\bar {\delta }}=1-{\sqrt {2}}}$.

${\displaystyle n}$	${\displaystyle (1+{\sqrt {2}})^{n}}$	${\displaystyle (1-{\sqrt {2}})^{n}}$
0	${\displaystyle 1+0{\sqrt {2}}=1.0}$	${\displaystyle 1-0{\sqrt {2}}=1.0}$
1	${\displaystyle 1+1{\sqrt {2}}=2.41421\ldots }$	${\displaystyle 1-1{\sqrt {2}}=-0.41421\ldots }$
2	${\displaystyle 3+2{\sqrt {2}}=5.82842\ldots }$	${\displaystyle 3-2{\sqrt {2}}=0.17157\ldots }$
3	${\displaystyle 7+5{\sqrt {2}}=14.07106\ldots }$	${\displaystyle 7-5{\sqrt {2}}=-0.07106\ldots }$
4	${\displaystyle 17+12{\sqrt {2}}=33.97056\ldots }$	${\displaystyle 17-12{\sqrt {2}}=0.02943\ldots }$
5	${\displaystyle 41+29{\sqrt {2}}=82.01219\ldots }$	${\displaystyle 41-29{\sqrt {2}}=-0.01219\ldots }$
6	${\displaystyle 99+70{\sqrt {2}}=197.9949\ldots }$	${\displaystyle 99-70{\sqrt {2}}=0.0050\ldots }$
7	${\displaystyle 239+169{\sqrt {2}}=478.00209\ldots }$	${\displaystyle 239-169{\sqrt {2}}=-0.00209\ldots }$
8	${\displaystyle 577+408{\sqrt {2}}=1153.99913\ldots }$	${\displaystyle 577-408{\sqrt {2}}=0.00086\ldots }$
9	${\displaystyle 1393+985{\sqrt {2}}=2786.00035\ldots }$	${\displaystyle 1393-985{\sqrt {2}}=-0.00035\ldots }$
10	${\displaystyle 3363+2378{\sqrt {2}}=6725.99985\ldots }$	${\displaystyle 3363-2378{\sqrt {2}}=0.00014\ldots }$
11	${\displaystyle 8119+5741{\sqrt {2}}=16238.00006\ldots }$	${\displaystyle 8119-5741{\sqrt {2}}=-0.00006\ldots }$
12	${\displaystyle 19601+13860{\sqrt {2}}=39201.99997\ldots }$	${\displaystyle 19601-13860{\sqrt {2}}=0.00002\ldots }$

Գործակիցները իրենցից ներկայացնում են ${\displaystyle H_{n}}$Պելի թվերի զուգորդող թվերը և հանդիսանում են ${\displaystyle H^{2}-2P^{2}=\pm 1}$հավասարման լուծումները։

Քառակուսի եռանկյուն թիվը՝ դա ${\displaystyle N={\frac {t(t+1)}{2}}=s^{2}}$է, համարյա հավասարասրուն պյութագորասյան թվերը հանդիսանում են ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$ամբողջ լուծումներ,որտեղ ${\displaystyle a+1=b}$։

Այս աղյուսակը կենտ ${\displaystyle H_{n}}$թվերի բաշխումը երկու համարյա հավասար մասերի։ Դրանք քառակուսի եռանկյուն թվեր են, եթե n զույգ է, և համարյա հավասարասրուն պյութագորասյան եռյակ, եթե n կենտ է։

${\displaystyle n}$	${\displaystyle H_{n}}$	${\displaystyle P_{n}}$	t	t+1	s	a	b	c
0	1	0	0	0	0
1	1	1				0	1	1
2	3	2	1	2	1
3	7	5				3	4	5
4	17	12	8	9	6
5	41	29				20	21	29
6	99	70	49	50	35
7	239	169				119	120	169
8	577	408	288	289	204
9	1393	985				696	697	985
10	3363	2378	1681	1682	1189
11	8119	5741				4059	4060	5741
12	19601	13860	9800	9801	6930

Սահմանում

${\displaystyle H_{n}}$Պելի թվին կից թվերը և ${\displaystyle P_{n}}$Պելի թվերին կից թվերը կարելի է ստանալ, մի քանի համարժեք ձևերով։

Աստիճան բարձրացնենք․

${\displaystyle (1+{\sqrt {2}})^{n}=H_{n}+P_{n}{\sqrt {2}}}$

${\displaystyle (1-{\sqrt {2}})^{n}=H_{n}-P_{n}{\sqrt {2}}.}$

Որտեղից հետևում է․

${\displaystyle H_{n}={\frac {(1+{\sqrt {2}})^{n}+(1-{\sqrt {2}})^{n}}{2}}.}$

և

${\displaystyle P_{n}{\sqrt {2}}={\frac {(1+{\sqrt {2}})^{n}-(1-{\sqrt {2}})^{n}}{2}}.}$

զույգ ռեկուրենտ հարաբերություններ․

${\displaystyle H_{n}={\begin{cases}1,n=0\\H_{n-1}+2P_{n-1},n>0\end{cases}}}$

${\displaystyle P_{n}={\begin{cases}0,n=0;\\H_{n-1}+P_{n-1},n>0\end{cases}}}$

կամ մատրիցային ձևով․

${\displaystyle {\begin{pmatrix}H_{n}\\P_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2\\1&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}H_{n-1}\\P_{n-1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2\\1&1\end{pmatrix}}^{n}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}.}$

Այսպիսով՝

${\displaystyle {\begin{pmatrix}H_{n}&2P_{n}\\P_{n}&H_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2\\1&1\end{pmatrix}}^{n}.}$

Ծանոթագրություններ

1. Например, Селлерс (Sellers) в 2002 году показал, что количество совершенных паросочетаний в декартовом произведении путей и графа K₄-e может быть вычислено как произведение числа Пелля на соответствующие число Фибоначчи
2. О матричной формуле и её следствиях смотрите Эрколано (Ercolano) (1979), Килик (Kilic) и Таски (Tasci) (2005). Другие тождества для чисел Пелля приведены Хорадамом (Horadam) (1971) и Бикнеллем (Bicknell) (1975).
3. Это записано в Shulba Sutras. Смотрите, например, Дутка (Dutka) (1986), который цитировал Тибаута (Thibaut) (1875)
4. Смотри Кнорра (Knorr) (1976) со ссылкой на пятое столетие, что соответствует утверждению Прокла, что числа были открыты пифагорейцами. Для более полного исследования о более поздних знаниях греков об этих числах смотри Томпсона (Thompson) (1929), Ведова (Vedova) (1951), Риденхоура (Ridenhour) (1986), Кнорра (Knorr) (1998), и Филепа (Filep) (1999).
5. Например, в Государстве Платона имеется ссылка на «рациональный диаметр пяти», под которым Платон подразумевал 7, числитель приближения 7/5.
6. «A History of Greek Mathematics: From Thales to Euclid - Sir Thomas Little Heath - Google Books». Վերցված է 2013 թ․ հունվարի 28-ին.

Գրականություն

• Bicknell, Marjorie A primer on the Pell sequence and related sequences // Fibonacci Quarterly. — 1975. — В. 4. — Т. 13. — С. 345—349.
• Cohn, J. H. E. Perfect Pell powers // Glasgow Mathematical Journal. — 1996. — В. 1. — Т. 38. — С. 19—20. — doi:10.1017/S0017089500031207
• Dutka, Jacques On square roots and their representations // Archive for History of Exact Sciences. — 1986. — В. 1. — Т. 36. — С. 21—39. — doi:10.1007/BF00357439
• Ercolano, Joseph Matrix generators of Pell sequences // Fibonacci Quarterly. — 1979. — В. 1. — Т. 17. — С. 71—77.
• Filep, László Pythagorean side and diagonal numbers // Acta Mathematica Academiae Paedagogiace Nyíregyháziensis. — 1999. — Т. 15. — С. 1–7.
• Horadam, A. F. Pell identities // Fibonacci Quarterly. — 1971. — В. 3. — Т. 9. — С. 245—252, 263.
• Kilic, Emrah; Tasci, Dursun The linear algebra of the Pell matrix // Boletín de la Sociedad Matemática Mexicana, Tercera Serie. — 2005. — В. 2. — Т. 11. — С. 163—174.
• Knorr, Wilbur Archimedes and the measurement of the circle: A new interpretation // Archive for History of Exact Sciences. — 1976. — В. 2. — Т. 15. — С. 115—140. — doi:10.1007/BF00348496
• Knorr, Wilbur "Rational diameters" and the discovery of incommensurability // American Mathematical Monthly. — 1998. — В. 5. — Т. 105. — С. 421—429. — doi:10.2307/3109803
• Knuth, Donald E. Leaper graphs // The Mathematical Gazette. — 1994. — В. 483. — Т. 78. — С. 274—297. — doi:10.2307/3620202 — math.CO/9411240
• Martin, Artemas Rational right angled triangles nearly isosceles // The Analyst. — 1875. — В. 2. — Т. 3. — С. 47—50. — doi:10.2307/2635906
• Pethő, A. Sets, graphs, and numbers (Budapest, 1991). — Colloq. Math. Soc. János Bolyai, 60, North-Holland, 1992. — С. 561—568.
• Ridenhour, J. R. Ladder approximations of irrational numbers // Mathematics Magazine. — В. 2. — Т. 59. — С. 95—105. — doi:10.2307/2690427
• Santana, S. F.; Diaz-Barrero, J. L. Some properties of sums involving Pell numbers // Missouri Journal of Mathematical Sciences. — 2006. — В. 1. — Т. 18. Архивировано из первоисточника 8 Մայիսի 2007.
• Sellers, James A. Domino tilings and products of Fibonacci and Pell numbers // Journal of Integer Sequences. — 2002. — Т. 5.
• Sesskin, Sam A «converse» to Fermat's last theorem? // Mathematics Magazine. — 1962. — В. 4. — Т. 35. — С. 215—217. — doi:10.2307/2688551
• Thibaut, George On the Súlvasútras // Journal of the Royal Asiatic Society of Bengal. — 1875. — Т. 44. — С. 227—275.
• Thompson, D'Arcy Wentworth III.—Excess and defect: or the little more and the little less // Mind: New Series. — 1929. — В. 149. — Т. 38. — С. 43—55.
• Vedova, G. C. Notes on Theon of Smyrna // American Mathematical Monthly. — 1951. — В. 10. — Т. 58. — С. 675—683. — doi:10.2307/2307978