Վան դեր Պոլի օսցիլյատոր

Օսցիլյատորի փուլային պատկեր: Երևում է սահմանային ցիկլը:

Վան դեր Պոլի օսցիլյատոր, ոչ գծայնորեն մարող տատանումներով օսցիլյատոր։ Նկարագրվում է հետևյալ հավասարումով՝

${\displaystyle {d^{2}x \over dt^{2}}-\mu (1-x^{2}){dx \over dt}+x=0}$, որտեղ

${\displaystyle x}$-ը t-ից կախված կետի կոորդինատն է,

${\displaystyle \mu }$-ն մարման ընթացքում ոչ գծայնությունը և ուժը բնութագրող գործակից է։

${\displaystyle \mu }$-ի փոփոխությունից կախված սահմանային ցիկլի տեսքի փոփոխությունը։

Պատմություն

Վան դեր Պոլի օսցիլյատորը առաջարկվել է հոլանդացի ինժեներ և ֆիզիկոս Բալտազար Վան դեր Պոլը «Ֆիլիպս»^[1] ընկերությունում իր աշխատանքի ընթացքում։

Վան դեր Պոլի կողմից էր հայտնաբերվել կանգուն տատանումները, որոնք անվանվեցին ռելաքսացիոն^[2], որոնք հայտնի էին որպես «սահմանային ցիկլեր»։

1927 թվականին Վան դեր Պոլը և իր գործընկեր Վան դեր Մարկը հայտնեցին^[3], որ տրված հաճախությունների դեպքում գրանցվել է աղմուկ, որոնք միշտ գտնվում էին ալիքների սեփական հաճախություններին մոտ։ Սա դետերմինացված քաոսի առաջին հետազոտությունն էր^[4]։

Վան դեր Պոլի հավասարումը օգտագործվում է ֆիզիկայում և կենսաբանության մեջ։

Երկչափ դեպք

Լենարի թեորեմի օգնությամբ, կարելի է ապացուցել, որ համակարգը ունի սահմանային ցիկլ։ Թեորեմից հետևում է, որ

${\displaystyle y=x-{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {1}{\mu }}{\frac {dx}{dt}}}$:

Այստեղից կարելի է ստանալ^[5] Վան դեր Պոլի հավասարումը երկչափ դեպքի համար՝

${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}{\frac {dx}{dt}}&=\mu \left(x-{\frac {1}{3}}x^{3}-y\right)\\{\frac {dy}{dt}}&={\frac {1}{\mu }}x\end{aligned}}\right.}$: Կարելի է նաև կատարել ${\displaystyle y={\frac {dx}{dt}}}$ փոխարինումը։ Կստացվի՝

${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}{\frac {dx}{dt}}&=y\\{\frac {dy}{dt}}&=\mu (1-x^{2})y-x\end{aligned}}\right.}$:

Ազատ տատանումներով օսցիլյատոր

Ռելաքսացիոն տատանումներ (${\displaystyle \mu =5}$)

Վան դեր Պոլի օսցիլյատորն ունի երկու ռեժիմ՝ երբ ${\displaystyle \mu =0}$ և ${\displaystyle \mu >0}$:

Պարզ է, որ երրորդ՝ ${\displaystyle \mu <0}$, ռեժիմը գոյություն չունի, քանի որ շփումը չի կարող բացասական լինել։

1) Երբ ${\displaystyle \mu =0}$, այսինքն օսցիլյատորը դիտարկվում է որպես չմարող, վերոնշյալ հավասարումը ունի հետևյալ տեսքը՝

${\displaystyle {d^{2}x \over dt^{2}}+x=0}$: Սա հարմոնիկ օսցիլյատորի հավասարումն է։

2) Երբ ${\displaystyle \mu >0}$ համակարգը ունի որոշակի սահմանային ցիկլ։ Որքան հեռու է ${\displaystyle \mu }$-ն զրոյից, օսցիլյատորի տատանումները այդքան քիչ են նման հարմոնիկին։

Հարկադրական տատանումներ

Ներդաշնակ հարկադրական ուժի ազդեցությամբ օսցիլյատորի քաոսային վարքը`${\displaystyle \mu =8,53;A=1,2;\omega =2,10}$

Վան դեր Պոլի հարկադրական տատանումները որոշվում են հետևյալ բանաձևով՝

${\displaystyle {d^{2}x \over dt^{2}}-\mu (1-x^{2}){dx \over dt}+x=A\sin(\omega t)}$, որտեղ

${\displaystyle A}$-ն արտաքին հարմոնիկ աղբյուրի լայնույթն է, ${\displaystyle \omega }$-ն՝ անկյունային արագությունը։

Տրիոդի սկզբունքային սխեման:

Ծանոթագրություններ

1. Cartwright, M.L., «Balthazar van der Pol», J. London Math. Soc., 35, 367—376, (1960).
2. Van der Pol, B., «On relaxation-oscillations», The London, Edinburgh and Dublin Phil. Mag. & J. of Sci., 2(7), 978—992 (1927).
3. Van der Pol, B. and Van der Mark, J., «Frequency demultiplication», Nature, 120, 363—364, (1927).
4. Kanamaru, T., «Van der Pol oscillator», Scholarpedia, 2(1), 2202, (2007).
5. Kaplan, D. and Glass, L., Understanding Nonlinear Dynamics, Springer, 240—244, (1995)

Տես նաև

• Դուֆֆինգի օսցիլյատոր
• Չուայի շղթա
• Քաոսի տեսություն

Արտաքին հղումներ

• Примеры фазовых портретов осциллятора Արխիվացված 2017-02-14 Wayback Machine.

Վիքիպահեստն ունի նյութեր, որոնք վերաբերում են «Վան դեր Պոլի օսցիլյատոր» հոդվածին։