Փոխազդեցության պատկերացում

Փոխազդեցության պատկերացում, փոխազդեցության պատկեր, երբեմն հայտնի է նաև Դիրակի պատկեր անունով, Շրյոդինգերի և Հայզենբերգի պատկերացումների միջանկյալ ներկայացումը քվանտային մեխանիկայում։ Եթե այդ երկու պատկերացումներում վիճակի վեկտորը կամ օպերատորները ժամանակային կախվածություն ունեն, ապա փոխազդեցության պատկերացումում երկուսն էլ ժամանակային կախվածություն ունեն դիտարկելիից^[1]։ Փոխազդեցության պատկերացումն օգտակար է ալիքային ֆունկցիայի և դիտարկելիի փոփոխության հետ գործ ունենալիս, որոնք տեղի են ունենում փոխազդեցության պատճառով։ Դաշտի տեսության հաշվարկների մեծ մասում^[2] կիրառվում է փոխազդեցության ներկայացումը, քանի որ լուծումը կառուցվում է բազմաթիվ մարմիններով Շրյոդինգերի հավասարման հիման վրա՝ որպես ազատ մասնիկի և որևէ անհայտ փոխազդող մասերի խնդրի լուծում։

Տարբեր պահերին գործող օպերատորներ ներառող հավասարումները, ինչը տեղի ունի փոխազդեցության պատկերացման դեպքում, պարտադիր չէ, որ Շրյոդինգերի կամ Հայզենբերգի պատկերացումը ներկայացնեն։ Պատճառն այն է, որ կամանակային կախվածություն ունեցող ունիտար ձևափոխությունները կապում են մի պատկերացման օպերատորները մյուս պատկերացման անալոգ օպերատորների հետ։

Սահմանում

Փոխազդեցության պատկերում օպերատորները և վիճակի վեկտորները բազիսի փոփոխությամբ (ունիտար ձևափոխություն) կապված են Շրյոդինգերի պատկերում նույն օպերատորների և վիճակի վեկտորների հետ։

Փոխազդեցության պատկերացմանն անցնելու համար Շրյոդինգերի պատկերացման համիլտոնյանը բաժանում են երկու մասի՝

${\displaystyle H_{S}=H_{0,S}+H_{1,S}~}$։

Այս մասերից ցանկացած հնարավորի ընտրությունը հանգում է ճշգրիտ փոխազդեցության պատկերացման, բայց որպեսզի փոխազդեցության պատկերացումը օգտակար լինի խնդրի վերլուծության պարզեցման համար, այդ մասերը սովորաբար ընտրվում են այնպես, որ H_{0, S}֊ն լինի լավ հասկանալի և ճշգրիտ լուծվող, մինչդեռ H_{1, S}֊ը պարունակի համակարգի՝ վերլուծության համար դժվար խոտորումները։

Եթե համիլտոնյանը բացահայտորեն կախված է ժամանակից (օրինակ, եթե քվանտային համակարգը փոխազդում է կիրառված արտաքին էլեկտրական դաշտի հետ, որը փոփոխվում է ժամանակի ընթացքում), ապա սովորաբար առավելություն է H_{1, S}֊ի հետ ներառել ժամանակից բացահայտորեն կախված անդամը՝ H_{0, S}֊ը թողնելով ժամանակից անկախ։ Դիտարկվող դեպքում հաշվի է առնվել դա։ Եթե կա անհրաժեշտություն, որ H_{0, S}֊ն լինի ժամանակից կախված, ապա կարող ենք ${\displaystyle e^{\pm iH_{0,S}t/\hbar }}$֊ը փոխարինել համապատասխան ժամանակային էվոլյուցիայի օպերատորով։

Վիճակի վեկտորներ

Փոխազդեցության պատկերացումում վիճակի վեկտորը սահմանվում է որպես^[3]

${\displaystyle |\psi _{I}(t)\rangle =e^{iH_{0,S}t/\hbar }|\psi _{S}(t)\rangle ~,}$

որտեղ |ψ_S(t)〉֊ն Շրյոդինգերի պատկերացման վիճակի վեկտորն է։

Օպերատորներ

Փոխազդեցության պատկերացման օպերատորը սահմանվում է որպես

${\displaystyle A_{I}(t)=e^{iH_{0,S}t/\hbar }A_{S}(t)e^{-iH_{0,S}t/\hbar }}$։

Նշենք, որ A_S(t)֊ը սովորաբար կախված չէ t֊ից և կարող է գրվել որպես A_S։ Այն կախված է միայն t֊ից, եթե օպերատորն ունի բացահայտ կախում ժամանակից, ինչպես վերը բերված օրինակում՝ կիրառված արտաքին էլեկտրական դաշտի դեպքում, որը կախված է ժամանակից։

Համիլտոնյան օպերատոր

H₀ օպերատորի համար փոխազդեցության պատկերացումը և Շրյոդինգերի պատկերացումը համընկնում են։

${\displaystyle H_{0,I}(t)=e^{iH_{0,S}t/\hbar }H_{0,S}e^{-iH_{0,S}t/\hbar }=H_{0,S}}$։

Սա հեշտ է տեսնել այն փաստից, որ օպերատորները կոմուտացվում են իրենց դիֆերենցելի ֆունկցիաների հետ։ Այս մասնակի օպերատորը կարելի է անվանել H₀։

Սակայն H_{1, I} խոտորման համիլտոնյանի համար

${\displaystyle H_{1,I}(t)=e^{iH_{0,S}t/\hbar }H_{1,S}e^{-iH_{0,S}t/\hbar },}$,

որտեղ խոտորման համիլտոնյանի փոխազդեցության պատկերը դառնում է ժամանակից կախված համիլտոնյան, մինչև [H_{1, S}, H_{0, S}] = 0։.

Հնարավոր է ստանալ փոխազդեցության պատկերը նաև H_{0, S}(t) ժամանակից կախված համիլտոնյանի համար, բայց էքսպոնենտները պետք է փոխարինել էվոլյուցիայի ունիտար տարածիչով, որը գեներացվել է H_{0, S}(t)֊ի կողմից։

Ծանոթագրություներ

1. Albert Messiah (1966). Quantum Mechanics, North Holland, John Wiley & Sons. ISBN 0486409244 ; J. J. Sakurai (1994). Modern Quantum Mechanics (Addison-Wesley) ISBN 9780201539295 .
2. J. W. Negele, H. Orland (1988), Quantum Many-particle Systems, ISBN 0738200522
3. The Interaction Picture, lecture notes from New York University

Գրականություն

• L.D. Landau; E.M. Lifshitz (1977). Quantum Mechanics: Non-Relativistic Theory. Vol. Vol. 3 (3rd ed.). Pergamon Press. ISBN 978-0-08-020940-1. {{cite book}}: |volume= has extra text (օգնություն) Online copy

• Townsend, John S. (2000). A Modern Approach to Quantum Mechanics, 2nd ed. Sausalito, California: University Science Books. ISBN 1-891389-13-0.

Տես նաև

• Շրյոդինգերի պատկերացում
• Հայզենբերգի պատկերացում