Faktorion

Dalam teori bilangan, faktorion pada suatu basis bilangan ${\displaystyle b}$ adalah bilangan asli yang sama dengan jumlah faktorial dari angka-angkanya.^[1][2][3] Clifford A. Pickover memperkenalkan istilah faktorion.^[4]

Definisi

Katakan ${\displaystyle n}$ adalah bilangan asli. Untuk basis ${\displaystyle b>1}$, kita tentukan jumlah faktorial dari digit-digit ^{[5] [6]} ${\displaystyle n}$, ${\displaystyle \operatorname {SFD} _{b}:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N} }$, sekiranya:

${\displaystyle \operatorname {SFD} _{b}(n)=\sum _{i=0}^{k-1}d_{i}!.}$

Di mana ${\displaystyle k=\lfloor \log _{b}n\rfloor +1}$ adalah jumlah digit bilangan pada basis ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle n!}$ adalah faktorial dari ${\displaystyle n}$ dan

${\displaystyle d_{i}={\frac {n{\bmod {b^{i+1}}}-n{\bmod {b^{i}}}}{b^{i}}}}$

adalah nilai dari digit ke-${\displaystyle i}$ bilangan tersebut. Bilangan asli ${\displaystyle n}$ tergolong ${\displaystyle b}$ - faktorion jika bilangannya menjadi titik tetap untuk ${\displaystyle \operatorname {SFD} _{b}}$, yaitu jika ${\displaystyle \operatorname {SFD} _{b}(n)=n}$.^[7] ${\displaystyle 1}$ dan ${\displaystyle 2}$ adalah titik tetap untuk seluruh basis ${\displaystyle b}$, dan dengan demikian merupakan faktor trivial untuk setiap ${\displaystyle b}$, dan keseluruhan faktor lainnya adalah faktor nontrivial .

Contoh: 145 pada basis ${\displaystyle b=10}$ adalah faktorion karena ${\displaystyle 145=1!+4!+5!}$ .

Untuk ${\displaystyle b=2}$, jumlah faktorial dari digit-digit tersebut hanya karena banyaknya angka ${\displaystyle k}$ pada basis 2 karena ${\displaystyle 0!=1!=1}$ .

Suatu bilangan asli ${\displaystyle n}$ adalah faktorion sosiabel apabila ia merupakan titik periodik ${\displaystyle \operatorname {SFD} _{b}}$, Di mana ${\displaystyle \operatorname {SFD} _{b}^{k}(n)=n}$ untuk bilangan bulat positif ${\displaystyle k}$, dan membentuk siklus periode ${\displaystyle k}$ . Suatu faktor adalah faktor sosiabel dengan nilai ${\displaystyle k=1}$, dan faktor amisabel adalah faktor yang sosiabel dengan nilai ${\displaystyle k=2}$ . ^{[8] [9]}

Semua bilangan asli ${\displaystyle n}$ adalah poin praperiodik untuk ${\displaystyle \operatorname {SFD} _{b}}$, apa pun dasarnya sebab semua bilangan asli berbasis ${\displaystyle b}$ dengan digit-digit ${\displaystyle k}$ menghasilkan ${\displaystyle b^{k-1}\leq n\leq (b-1)!(k)}$ .Tapi, jika ${\displaystyle k\geq b}$, maka ${\displaystyle b^{k-1}>(b-1)!(k)}$ untuk ${\displaystyle b>2}$, jadi apapun ${\displaystyle n}$ akan menghasilkan ${\displaystyle n>\operatorname {SFD} _{b}(n)}$ hingga ${\displaystyle n<b^{b}}$. Ada banyak bilangan asli yang kurang dari ${\displaystyle b^{b}}$, oleh karena itu bilangan tersebut pasti mencapai titik periodik atau titik tetap kurang dari ${\displaystyle b^{b}}$, dan menjadikan ia titik praperiodik. Dan untuk ${\displaystyle b=2}$, jumlah digit ${\displaystyle k\leq n}$ untuk bilangan apa pun, sekali lagi, menjadikan ia titik praperiodik. Dan ini juga berarti bahwasanya ada beberapa faktor dan siklus yang dibatasi untuk suatu basis ${\displaystyle b}$ .

${\displaystyle \operatorname {SFD} _{b}^{i}(n)}$ perlu jumlah iterasi ${\displaystyle i}$ untuk mencapai titik tetap ${\displaystyle \operatorname {SFD} _{b}}$ fungsi persistensi ${\displaystyle n}$, dan tak terdefinisi apabila tidak pernah mencapai titik tetap.

Faktorion SFD_b

b = ( k − 1)!

Katakan ${\displaystyle k}$ adalah bilangan bulat positif dan basis bilangan ${\displaystyle b=(k-1)!}$. Oleh sebab itu:

• ${\displaystyle n_{1}=kb+1}$ adalah faktorion ${\displaystyle \operatorname {SFD} _{b}}$ untuk semua ${\displaystyle k.}$ 

• ${\displaystyle n_{2}=kb+2}$ adalah faktorion ${\displaystyle \operatorname {SFD} _{b}}$ untuk semua ${\displaystyle k}$ .

Faktorion

${\displaystyle k}$	${\displaystyle b}$	${\displaystyle n_{1}}$	${\displaystyle n_{2}}$
4	6	41	42
5	24	51	52
6	120	61	62
7	720	71	72

b = k ! − k +1

Katakan ${\displaystyle k}$ adalah bilangan bulat positif dan basis ${\displaystyle b=k!-k+1}$. Oleh sebab itu:

• ${\displaystyle n_{1}=b+k}$ adalah faktorion ${\displaystyle \operatorname {SFD} _{b}}$ untuk semua ${\displaystyle k}$ .

Tabel faktorion dan siklus SFD_b

Basis ${\displaystyle b}$ mewakilkan semua angka.

Basis ${\displaystyle b}$	Faktorion nontrivial ( ${\displaystyle n\neq 1}$, ${\displaystyle n\neq 2}$ ) [10]	Siklus
2	${\displaystyle \varnothing }$	${\displaystyle \varnothing }$
3	${\displaystyle \varnothing }$	${\displaystyle \varnothing }$
4	13	3 → 12 → 3
5	144	${\displaystyle \varnothing }$
6	41, 42	${\displaystyle \varnothing }$
7	${\displaystyle \varnothing }$	36 → 2055 → 465 → 2343 → 53 → 240 → 36
8	${\displaystyle \varnothing }$	3 → 6 → 1320 → 12 175 → 12051 → 175
9	62558
10	145, 40585	871 → 45361 → 871 [9] 872 → 45362 → 872 [8]

Referensi

1. Sloane, Neil, "A014080", On-Line Encyclopedia of Integer Sequences 
2. Gardner, Martin (1978), "Factorial Oddities", Mathematical Magic Show: More Puzzles, Games, Diversions, Illusions and Other Mathematical Sleight-Of-Mind, Vintage Books, hlm. 61 and 64, ISBN 9780394726236 
3. Madachy, Joseph S. (1979), Madachy's Mathematical Recreations, Dover Publications, hlm. 167, ISBN 9780486237626 
4. Pickover, Clifford A. (1995), "The Loneliness of the Factorions", Keys to Infinity, John Wiley & Sons, hlm. 169–171 and 319–320, ISBN 9780471193340 
5. Gupta, Shyam S. (2004), "Sum of the Factorials of the Digits of Integers", The Mathematical Gazette, The Mathematical Association, 88 (512): 258–261, doi:10.1017/S0025557200174996, JSTOR 3620841 
6. Sloane, Neil, "A061602", On-Line Encyclopedia of Integer Sequences 
7. Abbott, Steve (2004), "SFD Chains and Factorion Cycles", The Mathematical Gazette, The Mathematical Association, 88 (512): 261–263, doi:10.1017/S002555720017500X, JSTOR 3620842 
8. Sloane, Neil, "A214285", On-Line Encyclopedia of Integer Sequences  Kesalahan pengutipan: Tanda <ref> tidak sah; nama "A214285" didefinisikan berulang dengan isi berbeda
9. Sloane, Neil, "A254499", On-Line Encyclopedia of Integer Sequences  Kesalahan pengutipan: Tanda <ref> tidak sah; nama "A254499" didefinisikan berulang dengan isi berbeda
10. Sloane, Neil, "A193163", On-Line Encyclopedia of Integer Sequences