Kecepatan relatif

Kecepatan relatif, dilambangkan ${\displaystyle {\vec {v}}_{B}\mid _{A}}$ (juga ${\displaystyle {\vec {v}}_{BA}}$atau ${\displaystyle {\vec {v}}_{BrelA}}$), adalah kecepatan sebuah benda A relatif terhadap kecepatan benda B.

Mekanika klasik

Kecepatan relativ seorang laki-laki yang berada diatas kereta api

Dalam bidang satu dimensi (non-relativitas)

Kita mulai dengan gerakan relatif dalam fisika klasik, (atau non relativitas, atau fisika Newtonian) bahwa semua kecepatan jauh lebih lambat daripada kecepatan cahaya. Batas ini dikaitkan dengan transformasi Galileo. Gambar tersebut menunjukkan seorang pria di atas kereta, di tepi belakang. Pada pukul 1 siang dia mulai berjalan maju dengan kecepatan berjalan 10 km/jam (kilometer per jam). Kereta ini melaju dengan kecepatan 40 km/jam. Gambar tersebut menggambarkan pria dan kereta api pada dua waktu yang berbeda: pertama, saat perjalanan dimulai, dan juga satu jam kemudian pada pukul 14.00. Angka tersebut menunjukkan bahwa pria tersebut berada 50 km dari titik awal setelah melakukan perjalanan (dengan berjalan kaki dan dengan kereta api) selama satu jam. Ini, menurut definisi, adalah 50 km/jam, yang menunjukkan bahwa rumus untuk menghitung kecepatan relatif dengan cara ini adalah dengan menjumlahkan kedua kecepatan.

Gambar tersebut menampilkan jam dan penggaris untuk mengingatkan pembaca bahwa meskipun logika untuk kalkulasi ini tampak benar, namun membuat asumsi yang salah tentang bagaimana jam dan penggaris berperilaku. (Lihat Eksperimen pemikiran kereta api dan platform.) Untuk mengenali bahwa model klasik gerakan relatif ini melanggar relativitas khusus, kami menggeneralisasi contoh ke dalam persamaan:

${\displaystyle \underbrace {{\vec {v}}_{M\mid E}} _{\text{50 km/jam}}=\underbrace {{\vec {v}}_{M\mid T}} _{\text{10 km/jam}}+\underbrace {{\vec {v}}_{T\mid E}} _{\text{40 km/jam}}}$

keteranggan:

${\displaystyle {{\vec {v}}_{M\mid E}}}$ adalah kecepatan M relatif terhadap E

${\displaystyle {{\vec {v}}_{M\mid T}}}$ adalah kecepatan M relatif terhadap T

${\displaystyle {{\vec {v}}_{T\mid E}}}$ adalah kecepatan T realatif terhadap E

Ekspresi yang sepenuhnya sah untuk "kecepatan A relatif terhadap B" mencakup "kecepatan A terhadap B" dan "kecepatan A dalam sistem koordinat di mana B selalu diam". Pelanggaran relativitas khusus terjadi karena persamaan kecepatan relatif ini salah memprediksi bahwa pengamat yang berbeda akan mengukur kecepatan yang berbeda ketika mengamati gerakan cahaya.^{[Catatan 1]}

Dalam bidang dua dimensi (non-relativitas)

Kecepatan relativ antara 2 partikel dalam makanika klasik

Gambar disamping menunjukkan dua benda A dan B bergerak dengan kecepatan konstan. Persamaan gerak adalah:

${\displaystyle {\vec {r}}_{A}={\vec {r}}_{Ai}+{\vec {v}}_{A}t}$ ${\displaystyle {\vec {r}}_{B}={\vec {r}}_{Bi}+{\vec {v}}_{B}t,}$

dimana subskrip i mengacu pada perpindahan awal (pada waktu t sama dengan nol). Selisih antara dua vektor perpindahan, ${\displaystyle {\vec {r}}_{B}-{\vec {r}}_{A}}$. Mewakili lokasi dari B seperti yang terlihat dari A

${\displaystyle {\vec {r}}_{B}-{\vec {r}}_{A}=\underbrace {{\vec {r}}_{Bi}-{\vec {r}}_{Ai}} _{\text{perpindahan awal}}+\underbrace {({\vec {v}}_{B}-{\vec {v}}_{A})t} _{\text{kecepatan relatif}}.}$

Karenanya:

${\textstyle {\vec {v}}_{B\mid A}={\vec {v}}_{B}-{\vec {v}}_{A}.}$

Sesudah melakukan proses substitusi ${\textstyle {\vec {v}}_{A\mid C}={\vec {v}}_{A}}$ dan ${\textstyle {\vec {v}}_{B\mid C}={\vec {v}}_{B}}$, kita dapatkan:

${\textstyle {\vec {v}}_{B\mid A}={\vec {v}}_{B\mid C}-{\vec {v}}_{A\mid C}\Rightarrow {\vec {v}}_{B\mid C}={\vec {v}}_{B\mid A}+{\vec {v}}_{A\mid C}.}$

Transformasi Galileo (non-relativitas)

Untuk membangun teori gerak relatif yang konsisten dengan teori relativitas khusus, kita harus mengadopsi konvensi yang berbeda. Melanjutkan bekerja dalam batas Newtonian (non-relativitas) kita mulai dengan transformasi Galileo dalam satu dimensi:^{[Catatan 2]}

${\displaystyle x'=x-vt}$

${\displaystyle t'=t}$

di mana x 'adalah posisi yang terlihat oleh kerangka acuan yang bergerak dengan kecepatan, v, dalam kerangka acuan "tanpa sisipan" (x).^{[Catatan 3]} Mengambil turunan pertama dari dua persamaan di atas, kita memiliki, ${\displaystyle dx^{'}=dx-vdt}$, dan pernyataan yang sudah jelas^{[Catatan 4]} bahwa ${\displaystyle dt^{'}=dt}$, kita punya:

${\displaystyle {dx^{'} \over {dt^{'}}}={dx \over dt}-v}$

Untuk memperbaiki persamaan sebelumnya untuk kecepatan relatif, kita asumsikan bahwa partikel A mengikuti jalur yang ditentukan oleh dx/dt dalam referensi tanpa satuan (dan karenanya dx′/dt′ dalam kerangka prima). Jadi ${\displaystyle dx/dt={\vec {v}}_{A\mid O}}$ dan ${\displaystyle dx^{'}/dt={\vec {v}}_{A\mid O^{'}}}$, dimana ${\displaystyle O}$ dan ${\displaystyle O^{'}}$ mengacu pada gerakan A seperti yang terlihat oleh pengamat dalam bingkai yang tidak dipersiapkan dan yang diprioritaskan. Ingatlah bahwa v adalah gerakan objek diam dalam bingkai prima, seperti yang terlihat dari bingkai tanpa bingkai. Jadi kita memiliki ${\displaystyle v={\vec {v}}_{O^{'}\mid O}}$ , dan:

${\displaystyle {\vec {v}}_{A\mid O}={\vec {v}}_{A\mid O}-{\vec {v}}_{O^{'}\mid O}\Rightarrow {\vec {v}}_{A\mid O^{'}}+{\vec {v}}_{O^{'}\mid O}}$

Relativitas khusus

Artikel utama: Relativitas khusus

Seperti dalam mekanika klasik, kecepatan relativ pada Relativitas Khusus ${\displaystyle {\vec {v}}_{B\mid A}}$ adalah kecepatan sebuah benda atau pengamat B dalam kerangka lain dari objek atau pengamat lain A.Namun, tidak seperti kasus mekanika klasik, dalam Relativitas Khusus, umumnya tidak demikian.

${\displaystyle {\vec {v}}_{B\mid A}=-{\vec {v}}_{A\mid B}}$

Kekurangan simetri yang aneh ini terkait dengan presesi Thomas dan fakta bahwa dua transformasi Lorentz yang berurutan memutar sistem koordinat. Rotasi ini tidak berpengaruh pada besaran vektor, dan karenanya kecepatan relatifnya simetris.

${\displaystyle \|{\vec {v}}_{\mathrm {B|A} }\|=\|{\vec {v}}_{\mathrm {A|B} }\|=v_{\mathrm {B|A} }=v_{\mathrm {A|B} }}$

Kecepatan paralel

Dalam kasus di mana dua benda bergerak dalam arah paralel, rumus relativitas untuk kecepatan relatif serupa dengan rumus penjumlahan kecepatan relativitas.

${\displaystyle {\vec {v}}_{B\mid A}={{\vec {v}}_{B}-{\vec {v}}_{A} \over 1-{{\vec {v}}_{A}{\vec {v}}_{B} \over c^{2}}}}$

Kecepatan relativ diperlihatkan oleh rumus:

${\displaystyle {\vec {v}}_{B\mid A}={{|{\vec {v}}_{B}-{\vec {v}}_{A}|} \over 1-{{\vec {v}}_{A}{\vec {v}}_{B} \over c^{2}}}}$

Kecepatan tegak lurus

Dalam kasus di mana dua benda bergerak dalam arah tegak lurus, kecepatan relatif dalam relativitas khusus ${\displaystyle {\vec {v}}_{B\mid A}}$ diberikan oleh rumus:^[1]

${\displaystyle {\vec {v}}_{B\mid A}={{\vec {v}}_{B} \over \gamma _{A}}-{\vec {v}}_{A}}$

Dimana

${\displaystyle \gamma _{A}={1 \over {\sqrt {1-({{\vec {v}}_{A} \over c})^{2}}}}}$

Rumua kecepatan relativ yang diberikan adalah

${\displaystyle {\vec {v}}_{B\mid A}={{\sqrt {c^{4}-(c^{2}-{\vec {v}}_{A}^{2})(c^{2}-{\vec {v}}_{B}^{2})}} \over c}}$

Kasus umum

Rumus umum untuk kecepatan relativ ${\displaystyle {\vec {v}}_{B\mid A}}$ dari sebuah objek yang diamati oleh B dalam kerangka lain yang diamati pula oleh pengamat adalah: ${\displaystyle {\vec {v}}_{B\mid A}={1 \over \gamma _{A}(1-{{\vec {v}}_{A}{\vec {v}}_{B} \over c^{2}})}[{\vec {v}}_{B}-{\vec {v}}_{A}+{\vec {v}}_{A}(\gamma _{A}-1)({{\vec {v}}_{A}.{\vec {v}}_{B} \over v_{A}^{2}}-1)]}$

Dimana

${\displaystyle \gamma _{A}={1 \over {\sqrt {1-({{\vec {v}}_{A} \over c})^{2}}}}}$

Kecepatan relativ rumusnya

${\displaystyle {\vec {v}}_{B\mid A}={\sqrt {1-{(c^{2}-v_{A}^{2})(c^{2}-v_{b}^{2}) \over (c^{2}-{\vec {v}}_{A}.{\vec {v}}_{B})^{2}}}}.c}$

Lihat juga

• Efek doppler
• Kecepatan radial

Catatan

1. Relative Motion at HyperPhysics n perpindahan photon pada kecepatan cahaya
2. Hasil ini valid jika semua gerakan dibatasi pada sumbu x, tetapi dapat dengan mudah digeneralisasikan dengan mengganti persamaan pertama dengan ${\displaystyle {\vec {r}}'={\vec {r}}-{\vec {v}}t}$
3. Sangat mudah untuk membuat bingung tentang tanda minus sebelum v, atau apakah v didefinisikan dalam kerangka acuan prima atau tidak prima. Mungkin membantu untuk memvisualisasikan fakta bahwa jika x = vt, maka x ′ = 0, yang berarti bahwa partikel yang mengikuti jalur x = vt diam dalam kerangka referensi prima.
4. Perlu diingat bahwa, karena dilatasi waktu, dt = dt ′ hanya valid dalam perkiraan bahwa kecepatannya jauh lebih kecil daripada kecepatan cahaya.

Referensi

1. FOCK, V. (1964). The Theory of Space, Time and Gravitation. Elsevier. hlm. 1–8. ISBN 978-0-08-010061-6. 

Pranala luar

• Relative Motion at HyperPhysics
• A Java applet illustrating Relative Velocity, by Andrew Duffy
• Relatív mozgás (1)...(3) Relative motion of two train (1)...(3). Videos on the portal FizKapu. (in Hungarian)
• Sebességek összegzése Relative tranquility of trout in creek. Video on the portal FizKapu. (in Hungarian)