Plot sarang laba-laba

Konstruksi dari sebuah plot sarang laba-laba-laba dari peta logistik ${\displaystyle y=2.8x(1-x)}$, menunjukkan titik tetap yang menarik

Sebuah diagram sarang laba-laba beranimasi dari peta logistik ${\displaystyle y=rx(1-x)}$, menunjukkan perilaku kekacauan untuk sebagian besar nilai ${\displaystyle r>3.57}$.

Plot sarang laba-laba atau diagram Verhulst adalah sebuah alat visual digunakan dalam bidang sistem dinamikal matematika untuk menyelidiki perilaku kualitatif dari fungsi berulang satu dimensi, seperti peta logistik. Penggunaan plot sarang laba-laba memungkinkan untuk menyimpulkan keadaan jangka panjang dari suatu kondisi awal akibat penerapan secara berulang dari sebuah pemetaan.^[1]

Metode

Untuk fungsi berulang tertentu ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$, plot sarang laba-laba terdiri dari sebuah garis diagonal (${\displaystyle x=y}$) dan kurva mewakili persamaan ${\displaystyle y=f(x)}$. Untuk menggambar perilaku dari suatu nilai ${\displaystyle x_{0}}$, langkah-langkah berikut perlu diterapkan:

1. Cari titik pada kurva fungsi yang memiliki koordinat-x bernilai ${\displaystyle x_{0}}$. Titik ini memiliki koordinat ${\displaystyle (x_{0}.f(x_{0}))}$.
2. Tarik garis secara horizontal dari titik ini ke garis diagonal ${\displaystyle x=y}$. Garis ini akan berpotongan pada titik yang memiliki koordinat ${\displaystyle (f(x_{0}),f(x_{0}))}$.
3. Tarik garis secara vertikal dari titik pada garis diagonal ke kurva fungsi. Garis ini akan berpotongan pada titik yang memiliki koordinat ${\displaystyle (f(x_{0}),f(f(x_{0})))}$.
4. Ulangi proses dari langkah 2 sesuai kebutuhan

Interpretasi

Pada plot sarang laba-laba, sebuah titik tetap yang stabil berkorespodensi dengan lintasan spiral ke suatu titik pusat, sementara sebuah titik tetap yang tidak stabil berkorespodensi dengan lintasan spiral ke arah luar. Hal ini sesuai dengan definisi dari sebuah titik tetap, bahwa yang lintasan spiral ini akan berpusat pada sebuat titik dimana garis diagonal ${\displaystyle y=x}$ berpotongan dengan kurva fungsi. Sebuah orbit berperiode 2 diwakili oleh lintasan spiral berbentuk suatu persegi panjang, sedangkan siklus berperiode yang lebih besar menghasilkan lintasan yang lebih kompleks, Sebuah orbit kekacauan akan menghasilkan lintasan yang 'mengisi' suatu daerah, mengindikasikan takhingga banyaknya bilangan yang tidak mengalami pengulangan (tidak memiliki periode).^[2]

Lihat pula

• Diagram Jones – teknik plot yang serupa

Referensi

1. Stoop, Ruedi; Steeb, Willi-Hans (2006). Berechenbares Chaos in dynamischen Systemen [Computable Chaos in dynamic systems] (dalam bahasa german). Birkhäuser Basel. hlm. 8. doi:10.1007/3-7643-7551-5. ISBN 978-3-7643-7551-5. Pemeliharaan CS1: Bahasa yang tidak diketahui (link)
2. Stoop, Ruedi; Steeb, Willi-Hans (2006). Berechenbares Chaos in dynamischen Systemen [Computable Chaos in dynamic systems] (dalam bahasa german). Birkhäuser Basel. hlm. 8. doi:10.1007/3-7643-7551-5. ISBN 978-3-7643-7551-5. Pemeliharaan CS1: Bahasa yang tidak diketahui (link)