Program Hilbert

Dalam bidang matematika, Program Hilbert adalah sebuah teori yang dirumuskan oleh matematikawan Jerman, David Hilbert. Teori ini diusulkan sebagai solusi untuk mengatasi krisis dasar dalam matematika, yang pada saat itu menghadapi paradoks dan inkonsistensi. Sebagai tanggapan, Hilbert mengusulkan untuk mendasarkan semua teori matematika pada satu set aksioma terbatas yang lengkap dan memberikan bukti bahwa aksioma-aksioma ini konsisten. Hilbert berpendapat bahwa konsistensi sistem yang lebih kompleks, seperti analisis real, dapat dibuktikan dengan menggunakan sistem yang lebih sederhana. Pada akhirnya, ia menyatakan bahwa konsistensi seluruh matematika dapat direduksi menjadi aritmetika dasar.

Teorema ketidaklengkapan Gödel, yang diterbitkan pada tahun 1931, menunjukkan bahwa program Hilbert tidak dapat dicapai untuk bidang-bidang utama matematika. Dalam teorema pertamanya, Gödel menunjukkan bahwa setiap sistem yang konsisten dengan serangkaian aksioma yang dapat dihitung yang mampu mengekspresikan aritmatika tidak akan pernah lengkap: adalah mungkin untuk membangun pernyataan yang dapat dibuktikan benar, tetapi itu tidak dapat diturunkan dari aturan formal sistem. Dalam teorema keduanya, ia menunjukkan bahwa sistem seperti itu tidak dapat membuktikan konsistensinya sendiri, sehingga tentu saja tidak dapat digunakan untuk membuktikan konsistensi sesuatu yang lebih kuat dengan pasti. Ini menyangkal asumsi Hilbert bahwa sistem finitistik dapat digunakan untuk membuktikan konsistensi dirinya sendiri, dan karena itu hal lain.

Pernyataan dari Program Hilbert

Tujuan utama dari program Hilbert adalah untuk memberikan dasar yang aman untuk semua matematika. Secara khusus ini harus mencakup: Sebuah formalisasi semua matematika, dengan kata lain semua pernyataan matematika harus ditulis dalam bahasa formal yang tepat, dan dimanipulasi sesuai dengan aturan yang ditetapkan dengan baik.

• Kelengkapan: bukti bahwa semua pernyataan matematika yang benar dapat dibuktikan dalam formalisme.
• Konsistensi: bukti bahwa tidak ada kontradiksi dapat diperoleh dalam formalisme matematika. Bukti konsistensi ini sebaiknya harus menggunakan hanya "finitistic" penalaran tentang objek matematika yang terbatas.
• Konservasi: bukti bahwa setiap hasil tentang "benda nyata" diperoleh dengan menggunakan penalaran tentang "benda-benda yang ideal" (seperti set terhitung) dapat dibuktikan tanpa menggunakan benda-benda yang ideal.
• Desikadilitas: harus ada algoritme untuk menentukan kebenaran atau kesalahan pernyataan matematika.

Referensi

1. Hilbert program then and now