Simetri tetrahedral

Grup titik dalam tiga dimensi

Simetri involusi
Cs, (*)
[ ] =
Simetri siklik
Cnv, (*nn)
[n] =
Simetri dihedral
Dnh, (*n22)
[n,2] =
Grup polihedral, [n,3], (*n32)

Simetri tetrahedral
Td, (*332)
[3,3] =
Simetri oktahedral
Oh, (*432)
[4,3] =
Simetri ikosahedral
Ih, (*532)
[5,3] =
Sebuah tetrahedron biasa, contoh benda padat dengan simetri tetrahedral penuh

Sebuah tetrahedron reguler memiliki 12 simetri rotasi (atau orientasi-kekal), dan urutan simetri dari 24 yang termasuk transformasi menggabungkan refleksi dan rotasi.

Grup semua simetri adalah isomorfik terhadap grup S4, grup simetris dari permutasi empat objek, karena satu simetri tersebut untuk setiap permutasi simpul dari tetrahedron. Himpunan simetri kekal orientasi membentuk grup yang disebut sebagai subgrup selang-seling A4 dari S4.

Detail

[sunting | sunting sumber]

Kiral dan penuh (atau simetri tetrahedral akiral dan simetri piritohedral) adalah simetri titik diskrit (atau ekuivalen simetri pada bola). Ia termasuk di antara grup titik kristal dari sistem kristal kubik.

Sumbu girasi
C3
 C3
 C2
2 2 3

Terlihat pada proyeksi stereografik tepi dari tetrakis heksahedron membentuk 6 lingkaran (atau garis radial pusat) pada bidang. Masing-masing dari 6 lingkaran ini mewakili garis cermin dalam simetri tetrahedral. Irisan/potongan lingkaran ini bertemu pada urutan 2 dan 3 titik girasi.

Ortogonal Proyeksi stereografis
Lipatan-4 Lipatan-3 Lipatan-2
Simetri tetrahedral kiral, T, (332), [3,3]+ = [1+,4,3+], =
Simetri piritohedral, Th, (3*2), [4,3+],
Simetri tetrahedral akiral, Td, (*332), [3,3] = [1+4,3], =

Simetri tetrahedral kiral

[sunting | sunting sumber]

Rotasi tetrahedral grup T dengan domain fundamental; untuk triakis tetrahedron, lihat di bawah, yang terakhir adalah satu wajah penuh
Sebuah tetrahedron ditempatkan 12 posisi berbeda dengan rotasi. Ini diilustrasikan atas dalam format grafik siklus, bersama dengan tepi 180° (panah biru) dan sudut 120° (panah merah) rotasi bahwa permutasi tetrahedron melalui posisi tersebut.
Dalam tetrakis heksahedron satu wajah penuh adalah domain fundamental; padatan lain dengan simetri yang sama diperoleh dengan menyesuaikan orientasi wajah, misalnya meratakan himpunan bagian wajah dipilih untuk menggabungkan setiap subset menjadi satu wajah, atau mengganti setiap wajah dengan beberapa wajah, atau permukaan melengkung.

T, 332, [3,3]+, atau 23, urutan 12 - kiral atau simetri tetrahedral rotasi. Ada tiga sumbu rotasi ortogonal lipatan-2, seperti kiral simetri dihedral D2 atau 222, dengan tambahan empat sumbu lipatan-3, berpusat di antara tiga arah ortogonal. Grup isomorfik hingga A4, grup selang-seling pada 4 elemen; sebenarnya itu adalah grup permutasi genap dari empat sumbu lipatan-3: e, (123), (132), (124), (142), (134), (143), (234 ), (243), (12)(34), (13)(24), (14)(23).

Kelas konjugasi dari T adalah:

  • identitas
  • 4 × rotasi sebesar 120° searah jarum jam (dilihat dari titik sudut): (234), (143), (412), (321)
  • 4 × rotasi sebesar 120° berlawanan arah jarum jam (ditto)
  • 3 × rotasi 180°

Rotasi 180°, bersama dengan identitas, dalam bentuk subgrup normal tipe Dih2, dengan grup hasil bagi tipe Z3. Tiga elemen yang terakhir adalah identitas, "rotasi searah jarum jam", dan "rotasi berlawanan arah jarum jam", sesuai dengan permutasi dari tiga sumbu lipatan-2 ortogonal, mempertahankan orientasi.

A4 adalah grup terkecil yang menunjukkan bahwa inversi dari Teorema Lagrange tidak benar secara umum: diberikan grup hingga G dan pembagi d dari |G|, tidak ada subgrup G dengan urutan d: grup G = A4 tidak memiliki subgrup urutan 6. Meskipun itu adalah sifat untuk grup abstrak secara umum, jelas dari grup isometri simetri tetrahedral kiral: karena kiralitas, subgrup harus menjadi C6 atau D3, namun keduanya tidak berlaku.

Subgrup simetri tetrahedral kiral

[sunting | sunting sumber]
Subgrup simetri tetrahedral kiral
Schoe. Coxeter Orb. H-M Generator Struktur Siklus Urutan Indeks
T [3,3]+ = 332 23 2 A4 12 1
D2 [2,2]+ = 222 222 3 Dih2 4 3
C3 [3]+ 33 3 1 Z3 3 4
C2 [2]+ 22 2 1 Z2 2 6
C1 [ ]+ 11 1 1 Z1 1 12

Simetri tetrahedral akiral

[sunting | sunting sumber]
Grup tetrahedral penuh Td dengan domain fundamental

Td, *332, [3,3] or 43m, urutan 24 – akiral atau simetri tetrahedral penuh, juga dikenal sebagai (2,3,3) grup segitiga. Grup ini memiliki sumbu rotasi yang sama dengan T, namun dengan enam bidang cermin, masing-masing melalui dua sumbu tiga kali lipat. Sumbu lipatan-2 sekarang menjadi sebagai sumbu S4 (4). Td dan O isomorfik sebagai grup abstrak: keduanya sesuai dengan S4, grup simetris pada 4 objek. Td adalah gabungan T dan himpunan yang diperoleh dengan menggabungkan setiap elemen O \ T dengan inversi. Lihat pula isometri dari tetrahedron beraturan.

Kelas konjugasi dari Td adalah:

  • identitas
  • 8 × rotasi 120° (C3)
  • 3 × rotasi 180° (C2)
  • 6 × refleksi pada bidang melalui dua sumbu rotasi (Cs)
  • 6 × rotorefleksi sebesar 90° (S4)

Subgrup simetri tetrahedral akiral

[sunting | sunting sumber]
Subgrup tetrahedral akiral
Schoe. Coxeter Orb. H-M Generator Struktur Siklus Urutan Indeks
Td [3,3] *332 43m 3 S4 24 1
C3v [3] *33 3m 2 Dih3=S3 6 4
C2v [2] *22 mm2 2 Dih2 4 6
Cs [ ] * 2 atau m 1 Z2 = Dih1 2 12
D2d [2+,4] 2*2 42m 2 Dih4 8 3
S4 [2+,4+] 2× 4 1 Z4 4 6
T [3,3]+ 332 23 2 A4 12 2
D2 [2,2]+ 222 222 2 Dih2 4 6
C3 [3]+ 33 3 1 Z3 = A3 3 8
C2 [2]+ 22 2 1 Z2 2 12
C1 [ ]+ 11 1 1 Z1 1 24

Simetri piritohedral

[sunting | sunting sumber]
Grup piritohedron Th dengan domain fundamental
Jahitan bola voli memiliki simetri piritohedron

Th, 3*2, [4,3+] atau m3, urutan 24 – simetri piritohedral. Grup ini memiliki sumbu rotasi yang sama dengan T, dengan bidang cermin melalui dua arah ortogonal. Sumbu lipatan-3 sekarang adalah sebagai S6 (3), dan simetri inversi pusat. Th isomorfik terhadap T × Z2: setiap elemen Th adalah elemen T, atau elemen yang digabungkan dengan inversi. Selain dua subgrup normal ini, ada juga subgrup normal D2h (dalam bentuk kubus), berjenis Dih2 × Z2 = Z2 × Z2 × Z2. Ini adalah produk langsung dari subgrup normal T (lihat di atas) dengan Ci. Geup hasil bagi sama seperti di atas: berjenis Z3. Tiga elemen yang terakhir adalah identitas, "rotasi searah jarum jam", dan "rotasi berlawanan arah jarum jam", sesuai dengan permutasi dari tiga sumbu lipatan-2 ortogonal, sebagai orientasi.

Ini adalah simetri kubus dengan setiap wajah segmen garis membagi wajah menjadi dua persegi panjang yang sama, sehingga segmen garis dari wajah berdekatan tidak bertemu pada tepi. Simetri sesuai dengan permutasi genap dari diagonal tubuh dan kombinasi yang sama dengan inversi. Ini juga merupakan simetri dari piritohedron, yang mirip dengan kubus yang dijelaskan, dengan setiap persegi panjang diganti dengan segi lima dengan satu sumbu simetri dan 4 sisi yang sama dan 1 sisi yang berbeda (yang sesuai dengan segmen garis yang membagi wajah kubus); yaitu, wajah kubus menonjol keluar di garis pemisah dan menjadi lebih sempit di sana. Ini adalah subgrup dari grup simetri ikosahedral penuh (sebagai grup isometri, bukan hanya grup abstrak), dengan 4 dari 10 sumbu lipatan-3.

Kelas konjugasi Th termasuk kelas T, dengan dua kelas 4 digabungkan, dan masing-masing dengan inversi:

  • identitas
  • 8 × rotasi 120° (C3)
  • 3 × rotasi 180° (C2)
  • inversi (S2)
  • 8 × rotorefleksi sebesar 60° (S6)
  • 3 × refleksi pada bidang (Cs)

Subgrup simetri piritohedron

[sunting | sunting sumber]
Subgrup piritohedral
Schoe. Coxeter Orb. H-M Generator Struktur Siklus Urutan Indeks
Th [3+,4] 3*2 m3 2 A4×2 24 1
D2h [2,2] *222 mmm 3 Dih2×Dih1 8 3
C2v [2] *22 mm2 2 Dih2 4 6
Cs [ ] * 2 atau m 1 Dih1 2 12
C2h [2+,2] 2* 2/m 2 Z2×Dih1 4 6
S2 [2+,2+] × 1 1 2 atau Z2 2 12
T [3,3]+ 332 23 2 A4 12 2
D3 [2,3]+ 322 3 2 Dih3 6 4
D2 [2,2]+ 222 222 3 Dih4 4 6
C3 [3]+ 33 3 1 Z3 3 8
C2 [2]+ 22 2 1 Z2 2 12
C1 [ ]+ 11 1 1 Z1 1 24

Padatan dengan simetri tetrahedral kiral

[sunting | sunting sumber]

Ikosahedron berwarna sebagai tetrahedron umpat memiliki simetri kiral.

Padatan dengan simetri tetrahedral penuh

[sunting | sunting sumber]
Kelas Nama Gambar Wajah Tepi Sudut
Padatan platonis tetrahedron Tetrahedron 4 6 4
Padatan Archimedean tetrahedron penggal Tetrahedron pengggal 8 18 12
Padatan Catalan triakis tetrahedron Triakis tetrahedron 12 18 8
Padatan Johnson-luput Triakis tetrahedron potongan 16 42 28
Dodecahedron tertetrasi 28 54 28
Polihedron bintang seragam Tetrahemiheksahedron 7 12 6

Lihat pula

[sunting | sunting sumber]

Referensi

[sunting | sunting sumber]
  • Peter R. Cromwell, Polyhedra (1997), p. 295
  • The Symmetries of Things 2008, John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, ISBN 978-1-56881-220-5
  • Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter, edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
  • N.W. Johnson: Geometries and Transformations, (2018) ISBN 978-1-107-10340-5 Chapter 11: Finite symmetry groups, 11.5 Spherical Coxeter groups

Pranala luar

[sunting | sunting sumber]