Vektor singgung

Untuk sesuatu yang lebih umum - tetapi lebih teknis - dalam bahasan vektor singgung, lihat ruang singgung .

Di matematika, khusunya geometri, gagasan vektor singgung merupakan hal yang penting. Mudahnya berbicara, vektor singgung merupakan vektor yang menyinggung suatu kurva atau permukaan di suatu titik. Vektor singgung dibahas dalam kajian geometri diferensial bagi kurva dalam konteks kurva di Rⁿ . Lebih umum, vektor singgung adalah anggota ruang singgung dari keragaman diferensiabel . Vektor singgung juga dapat dibahas melalui konsep germs . Secara formal, dalam kaitannya dengan germs, vektor singgung di titik ${\displaystyle x}$ adalah derivasi linier dari aljabar yang didefinisikan oleh himpunan germs di ${\displaystyle x}$ .

Gagasan Awal

Sebelum sampai pada batasan yang general dari konsep vektor singgung, terlebih dahulu kita bahas penggunaannya dalam kalkulus dan sifat tensornya .

Kalkulus

Andaikan ${\displaystyle \mathbf {r} (t)}$ merupakan parameter kurva licin. Vektor singgung diberikan oleh ${\displaystyle \mathbf {r} ^{\prime }(t)}$. Dalam hal ini, tanda aksen sama maknanya dengan titik biasa, yaitu menyatakan turunan terhadap parameter t .^[1] Vektor singgung satuan dituliskan sebagai

${\displaystyle \mathbf {T} (t)={\frac {\mathbf {r} ^{\prime }(t)}{|\mathbf {r} ^{\prime }(t)|}}\,.}$

Contoh

Diberikan sebuah kurva

${\displaystyle \mathbf {r} (t)=\{(1+t^{2},e^{2t},\cos {t})|\ t\in \mathbb {R} \}}$

di ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$, vektor singgung satuan pada ${\displaystyle t=0}$ diberikan oleh

${\displaystyle \mathbf {T} (0)={\frac {\mathbf {r} ^{\prime }(0)}{\|\mathbf {r} ^{\prime }(0)\|}}=\left.{\frac {(2t,2e^{2t},\ -\sin {t})}{\sqrt {4t^{2}+4e^{4t}+\sin ^{2}{t}}}}\right|_{t=0}=(0,1,0)\,.}$

1. J. Stewart (2001)

Pustaka

• Gray, Alfred (1993), Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces, Boca Raton: CRC Press 
• Stewart, James (2001), Calculus: Concepts and Contexts, Australia: Thomson/Brooks/Cole  .
• Kay, David (1988), Schaums Outline of Theory and Problems of Tensor Calculus, New York: McGraw-Hill  .