Alternativa di Tits

In matematica, l'alternativa di Tits, dal nome del matematico francese Jacques Tits che l'ha formulata e che ha contribuito a valergli la vittoria del Premio Abel 2008^[1], è un teorema così definito in origine:

«Ogni gruppo lineare finitamente generato è virtualmente solubile oppure contiene una copia del gruppo libero su due generatori.»

Definizione formale

Il teorema, dimostrato dallo stesso Tits^[2], asserisce quanto segue:

Sia ${\displaystyle G}$ un gruppo lineare finitamente generato su un campo commutativo. Si verificano allora le due possibilità seguenti: O il gruppo è virtualmente risolubile (ad esempio contiene un sottogruppo risolubile di indice finito) OPPURE il gruppo dato contiene un gruppo libero non abeliano (ad esempio, ha un sottogruppo isomorfico al gruppo libero su due generatori) Variante:[3] o ${\displaystyle G}$ contiene due matrici che non soddisfano alcuna relazione moltiplicativa non banale; oppure ${\displaystyle G}$ contiene un sottogruppo ${\displaystyle H}$ di indice finito in ${\displaystyle G}$ che conserva una bandiera completa.

Conseguenze

Un gruppo lineare non è amenabile se e solo se contiene un gruppo libero non abeliano (quindi la congettura di von Neumann, che non è vera in generale, lo è per i gruppi lineari).

L'alternativa di Tits è un ingrediente importante^[4] nella dimostrazione del teorema di Gromov sui gruppi di crescita polinomiale. Infatti, l'alternativa stabilisce essenzialmente il risultato per i gruppi lineari (lo riduce al caso dei gruppi risolubili, che possono essere trattati con mezzi elementari).

Generalizzazione

Nella teoria geometrica dei gruppi, un gruppo ${\displaystyle G}$ si dice che soddisfa l'alternativa di Tits se per ogni sottogruppo ${\displaystyle H}$ di ${\displaystyle G}$ o ${\displaystyle H}$ è virtualmente risolubile o ${\displaystyle H}$ contiene un sottogruppo libero non abeliano (in alcune definizioni questa condizione è necessaria essere soddisfatta solo per tutti i sottogruppi di G finitamente generati).

Esempi di gruppi che soddisfano l'alternativa Tits che non sono lineari, o almeno non è noto se siano lineari:

• Gruppi iperbolici
• Mapping class group^[5][6]
• Out(F_n)
• Certi gruppi di trasformazioni birazionali di superfici algebriche^[7]

Esempi di gruppi che non soddisfano l'alternativa di Tits sono:

• Il gruppo di Grigorchuk
• Il gruppo F di Thompson

Dimostrazione

La dimostrazione dell'originale alternativa di Tits^[2] si ricava osservando la chiusura Zariski di ${\displaystyle G}$ in ${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(k)}$. Se è risolubile allora il gruppo è risolubile. Altrimenti si guarda l'immagine di ${\displaystyle G}$ nel componente Levi. Se non è compatto allora un argomento ping-pong completa la dimostrazione.

Se è compatto allora o tutti gli autovalori degli elementi nell'immagine di ${\displaystyle G}$ sono radici dell'unità e quindi l'immagine è finita, oppure si può trovare un'inclusione di ${\displaystyle k}$ in cui applicare la strategia del ping-pong.

Si noti che anche la dimostrazione di tutte le generalizzazioni di cui sopra si basa sul lemma del ping-pong.

Note

1. Sito ufficiale del Premio Abel (PDF) (archiviato dall'url originale il 15 ottobre 2009).
2. J. Tits, Free subgroups in linear groups, in Journal of Algebra, vol. 20, n. 2, 1972, pp. 250–270, DOI:10.1016/0021-8693(72)90058-0.
3. John D. Dixon, THE TITS ALTERNATIVE, Carleton University, luglio 1988.
4. (FR) Jacques Tits, Groupes à croissance polynomiale, in Séminaire Bourbaki, vol. 1980/1981, 1981. URL consultato il 25 dicembre 2023 (archiviato dall'url originale il 15 agosto 2016).
5. Nikolai Ivanov, Algebraic properties of the Teichmüller modular group, in Dokl. Akad. Nauk SSSR, vol. 275, 1984, pp. 786–789.
6. John McCarthy, A "Tits-alternative" for subgroups of surface mapping class groups, in Trans. Amer. Math. Soc., vol. 291, 1985, pp. 583–612, DOI:10.1090/s0002-9947-1985-0800253-8.
7. (FR) Serge Cantat, Sur les groupes de transformations birationnelles des surfaces, in Ann. Math., vol. 174, 2011, pp. 299–340, DOI:10.4007/annals.2011.174.1.8.

Bibliografia

• J. Tits, Free subgroups in linear groups, in Journal of Algebra, vol. 20, n. 2, 1972, pp. 250–270, DOI:10.1016/0021-8693(72)90058-0.
• Mladen Bestvina, Feighn, Mark; Handel, Michael, The Tits alternative for Out(F_n) I: Dynamics of exponentially-growing automorphisms, in Annals of Mathematics, vol. 151, n. 2, 2000, pp. 517–623, DOI:10.2307/121043, JSTOR 121043, arXiv:math/9712217.

Voci correlate

• Congettura di von Neumann

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