Nel 1973, Kostin ha iniziato gli studi presso il Dipartimento di Economia dei Paesi stranieri dell'Università statale di Mosca, laureandosi con lode in Economia politica nel 1979. Fu assegnato a lavorare all'estero presso il Ministero degli affari esteri dell'URSS.[2] Da quell'anno, fino al 1982, è stato dipendente del Consolato Generale dell'URSS a Sydney, in Australia. Dal 1982 al 1985 è stato Segretario del Dipartimento Europeo del Ministero degli Affari Esteri dell'URSS.[3] Nel 1985 divenne dipendente dell'ambasciata dell'URSS in Gran Bretagna, a Londra, dove rimase fino al 1990. Da allora al 1992 è stato Primo Segretario, Consigliere del Dipartimento Europeo del Ministero degli Affari Esteri dell'URSS.
Kostin è uno dei rappresentanti più attivi del settore bancario russo ed è stato ospite su CNBC,[4] Fox News,[5] CNN,[6] BBC e Bloomberg TV channel. Ha partecipato tre volte allo show di Charlie Rose sulla televisione Bloomberg,[7] e al programma Hard Talk sulla BBC.[8] Partecipa al Forum economico mondiale (Davos, Svizzera) dal 1996.[9]
Nel maggio del 2017, Kostin ha dichiarato che l'élite di Washington stava intenzionalmente interrompendo la presidenza di Donald Trump diffondendo false accuse sui suoi legami con la Russia.[10]
Il 22 gennaio 2018, durante le interviste al Forum economico mondiale di Davos, Kostin ha ribadito che ulteriori sanzioni contro individui o entità sarebbero considerate alla stregua di una "guerra economica".[11][12]
Nell'aprile 2018, gli Stati Uniti hanno imposto sanzioni a Kostin e ad altri 23 cittadini russi.[13][14]
Fa parte del consiglio di sorveglianza di Post Bank.[15]
Secondo i dati ufficiali, Kostin è sposato, ha figli e un nipote.[16] Nailja Asker-Zade, una reporter del canale statale Russia-24, è considerata la sua fidanzata di lunga data.[17][18]
Suo figlio maggiore Andrej (1978-2011), ha lavorato come vice presidente del consiglio di amministrazione di Deutsche Bank in Russia. È morto il 2 luglio 2011 durante un viaggio su un ATV mentre era in vacanza nella regione di Jaroslavl'.[19][20][21][22][23][24][25]
«Per il suo grande contributo allo sviluppo dell'economia del Paese, al rafforzamento della posizione della Russia nell'industria mondiale del petrolio e del gas e alla risoluzione con successo dei problemi per migliorare il clima degli investimenti nella Federazione Russa.» — 2017
«Per il suo contributo allo sviluppo socio-economico della Federazione Russa, i successi lavorativi ottenuti, le attività sociali attive e i molti anni di lavoro coscienzioso.» — 2015
«Per il suo contributo allo sviluppo socio-economico della Federazione Russa, i successi lavorativi ottenuti, le attività sociali attive e i molti anni di lavoro coscienzioso.» — 2015
«Per i servizi resi alla Repubblica di Carelia e ai suoi abitanti, il grande contributo allo sviluppo socioeconomico della repubblica e il lavoro attivo nell'ambito della Commissione statale per i preparativi per la celebrazione del centenario della formazione della Repubblica di Carelia.» — 8 giugno 2020[28]
«Per la partecipazione attiva alla conservazione del patrimonio storico e culturale della Repubblica Autonoma di Crimea, per il contributo allo sviluppo della cultura e cooperazione internazionale, molti anni di lavoro coscienzioso e in connessione con il 10º anniversario del Consiglio internazionale di fondazione dell'istituzione repubblicana di Crimea "Riserva ecologico-storico-culturale di Koktebel "Cimmeria M.A. Voloshin".» — 7 settembre 2012[34]
«Per il significativo contributo personale al restauro di un monumento culturale di importanza internazionale, la Casa-Museo di M. A. Voloshin (Feodosia).» — 5 settembre 2005[35]