Azione di monodromia

In topologia, l'azione di monodromia è un'azione del gruppo fondamentale di uno spazio topologico sulla fibra dei suoi punti tramite un rivestimento.

Definizione

Nel seguito supporremo che ${\displaystyle X}$ sia uno spazio topologico connesso per archi^[1], e che ${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0})}$ sia il suo gruppo fondamentale una volta fissato un elemento (e quindi una puntatura) ${\displaystyle x_{0}\in X}$.

Sia ${\displaystyle p\colon E\to X}$ un rivestimento, e sia ${\displaystyle F=p^{-1}(x_{0})}$ la fibra di un punto ${\displaystyle x_{0}\in X}$. Allora, prendendo proprio ${\displaystyle x_{0}}$ come puntatura, è definita un'azione (destra) di gruppo

${\displaystyle {\mathfrak {m}}\colon F\times \pi _{1}(X,x_{0})\longrightarrow F}$

${\displaystyle ({\tilde {x}},[\gamma ])\longmapsto {\tilde {x}}\cdot [\gamma ]={\tilde {\gamma }}_{\tilde {x}}(1)}$

dove ${\displaystyle {\tilde {\gamma }}_{\tilde {x}}\colon [0,1]\to E}$ è il sollevamento (unico) del cammino ${\displaystyle \gamma \colon [0,1]\to X}$ tale che ${\displaystyle {\tilde {\gamma }}_{\tilde {x}}(0)={\tilde {x}}}$.

Note

1. A volte, ciò che si intende con connessione per archi viene detto connessione per cammini (traducendo letteralmente l'inglese path connected), mentre si dà alla connessione per archi una definizione leggermente più debole.

Bibliografia

• M. Manetti, Topologia, Springer.

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