Base aurea

La base aurea è un sistema di numerazione posizionale non intero che utilizza il rapporto aureo (il numero irrazionale 1 + ${\displaystyle {\sqrt {5}}}$/2 ≈ 1,61803399, simboleggiato dalla lettera greca φ) come sua base. Viene talvolta chiamato base φ o, in inglese, phinary. Qualsiasi numero reale non negativo può essere rappresentato come un numero in base φ utilizzando solo le cifre 0 e 1, ed evitando la sequenza di cifre "11": questa viene chiamata forma standard. Un numero in base φ che include la sequenza di cifre "11" può sempre essere riscritto in forma standard, utilizzando le proprietà algebriche della base φ, in particolare φ¹ + φ⁰ = φ². Ad esempio, 11_φ = 100_φ.

Nonostante utilizzi una base costituita da un numero irrazionale, quando si utilizza la forma standard, tutti i numeri interi non negativi hanno una rappresentazione univoca in base φ finita. L'insieme di numeri che possiedono una rappresentazione finita in base φ è l'anello Z[1 + ${\displaystyle {\sqrt {5}}}$/2]; esso svolge lo stesso ruolo in questo sistema di numerazione che le frazioni diadiche svolgono nei numeri binari.

Altri numeri hanno rappresentazioni standard in base φ ed i numeri razionali hanno rappresentazioni periodiche.

Esempi

Decimale	Potenze di φ	Base φ
1	φ^0	1
2	φ^1 + φ^−2	10,01
3	φ^2 + φ^−2	100,01
4	φ^2 + φ^0 + φ^−2	101,01
5	φ^3 + φ^−1 + φ^−4	1000,1001
6	φ^3 + φ^1 + φ^−4	1010,0001
7	φ^4 + φ^−4	10000,0001
8	φ^4 + φ^0 + φ^−4	10001,0001
9	φ^4 + φ^1 + φ^−2 + φ^−4	10010,0101
10	φ^4 + φ^2 + φ^−2 + φ^−4	10100,0101

Rappresentazione di alcuni numeri irrazionali notevoli in base φ

Di seguito sono riportate le rappresentazioni in base φ di alcuni interessanti numeri irrazionali:

• ${\displaystyle \pi }$ ≈ 100,0100 1010 1001 0001 0101 0100 0001 0100 ..._φ
• e ≈ 100,0000 1000 0100 1000 0000 0100 ..._φ
• ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ≈ 1,0100 0001 0100 1010 0100 0000 0101 0000 0000 0101 ..._φ
• φ = 1+${\displaystyle {\sqrt {5}}}$/2 = 10_φ
• ${\displaystyle {\sqrt {5}}}$ = 10,1_φ

Bibliografia

• George Bergman, A Number System with an Irrational Base, in Mathematics Magazine, vol. 31, n. 2, 1957, pp. 98–110, DOI:10.2307/3029218.

Voci correlate

• Successione di Fibonacci
• Rettangolo aureo

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Base aurea, su MathWorld, Wolfram Research.

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