Chiusura algebrica

In matematica, in particolare in algebra, la chiusura algebrica di un campo ${\displaystyle K}$ è la più piccola estensione algebrica di ${\displaystyle K}$ che è algebricamente chiusa; in termini meno rigorosi, la chiusura algebrica di ${\displaystyle K}$ è quel campo che si ottiene "aggiungendo" a ${\displaystyle K}$ le radici di tutti i polinomi a coefficienti in ${\displaystyle K}$.

Ogni campo ha una chiusura algebrica, e questa è unica a meno di isomorfismi: questo permette di parlare della chiusura algebrica di ${\displaystyle K}$, invece che di una chiusura algebrica di ${\displaystyle K}$.

Esempi

• Il teorema fondamentale dell'algebra afferma che il campo ${\displaystyle \mathbb {C} }$ dei numeri complessi è algebricamente chiuso, e di conseguenza è la chiusura algebrica del campo dei numeri reali. Tuttavia, ${\displaystyle \mathbb {C} }$ non è la chiusura algebrica del campo ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ dei numeri razionali, in quanto contiene elementi (i numeri trascendenti) che non sono algebrici su ${\displaystyle \mathbb {Q} }$. La chiusura algebrica dei razionali è, invece, il campo dei numeri algebrici.

• Esistono molti campi algebricamente chiusi all'interno dei numeri complessi e contenenti strettamente il campo dei numeri algebrici. Tra questi, vi sono le chiusure algebriche delle estensioni trascendenti dei numeri razionali, ad esempio la chiusura algebrica di ${\displaystyle \mathbb {Q} (\pi )}$.

• Per un campo finito di caratteristica prima p, la chiusura algebrica è un campo di cardinalità numerabile, che contiene una copia del campo di ordine ${\displaystyle p^{n}}$ per ogni intero positivo n (ed è di fatto l'unione di queste copie).

Esistenza ed unicità

Usando il lemma di Zorn, può essere mostrato che ogni campo ha una chiusura algebrica, e che la chiusura algebrica di un campo ${\displaystyle K}$ è unica a meno di isomorfismi che fissano ogni elemento di ${\displaystyle K}$. Tuttavia, non esiste un isomorfismo "canonico" tra due chiusure algebriche: ad esempio, date due chiusure ${\displaystyle F_{1},F_{2}}$ del campo ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ con p elementi, esistono un numero infinito (e non numerabile) di isomorfismi di ${\displaystyle F_{1}}$ in ${\displaystyle F_{2}}$.

Proprietà

La chiusura algebrica ${\displaystyle {\overline {K}}}$ di ${\displaystyle K}$ può essere vista come la più grande estensione algebrica di ${\displaystyle K}$, nel senso che ogni altra estensione algebrica ${\displaystyle L}$ di ${\displaystyle K}$ può essere immersa dentro ${\displaystyle {\overline {K}}}$ (generalmente in modo non unico); ne segue anche che ${\displaystyle {\overline {K}}}$ è anche la chiusura algebrica di ${\displaystyle L}$.

La chiusura algebrica di un campo ${\displaystyle K}$ ha la stessa cardinalità di ${\displaystyle K}$ se ${\displaystyle K}$ è infinito, ed è numerabile se ${\displaystyle K}$ è finito.

Bibliografia

• Stefania Gabelli, Teoria delle Equazioni e Teoria di Galois, Milano, Springer, 2008, ISBN 978-88-470-0618-8.
• James S. Milne, Fields and Galois Theory (PDF), v.4.30, 2012. URL consultato il 6 dicembre 2012.

Voci correlate

• Estensione algebrica
• Campo finito
• Campo di spezzamento

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Chiusura algebrica, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Chiusura algebrica, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.

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