Contrazione di un tensore

In geometria differenziale, la contrazione di un tensore è un'operazione che trasforma un tensore di tipo ${\displaystyle (h,k)}$ in un tensore di tipo ${\displaystyle (h-1,k-1)}$.

Questa operazione è a volte detta traccia. Se il tensore è di tipo (1,1), questa equivale effettivamente al calcolo della traccia di una matrice associata.

Definizione

La contrazione di un tensore misto di tipo ${\displaystyle (h,k)}$ è definita nel modo seguente: si scrive il tensore iniziale usando gli indici, quindi se ne prendono due, uno superiore e l'altro inferiore, si indicano con la stessa lettera, e si interpreta il tensore risultante secondo la notazione di Einstein. Ad esempio, dato

${\displaystyle T_{\ \ cd}^{ab}}$

poniamo ${\displaystyle b=c=i}$ e scriviamo

${\displaystyle T_{\ d}^{a}=T_{\ \ id}^{ai}.}$

Il tensore risultante equivale a

${\displaystyle T_{\ d}^{a}=\sum _{i=1}^{n}T_{\ \ id}^{ai}=T_{\ \ 1d}^{a1}+\ldots +T_{\ \ nd}^{an}.}$

Costruzioni come questa, effettuate usando coordinate, dipendono sempre dalla scelta di una base. Il punto importante in questa costruzione specifica sta nel fatto che non dipende dalla base usata: questo è dovuto al fatto che i due indici contratti sono ad altezze diverse, e quindi le due matrici corrispondenti ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle C}$ nell'espressione che descrive la mutazione del tensore al cambiamento di base sono una inversa dell'altra e si elidono.

Esempio

Se ${\displaystyle T_{b}^{a}}$ è un tensore di tipo ${\displaystyle (1,1)}$, il tensore contratto ${\displaystyle T_{i}^{i}}$ è di tipo ${\displaystyle (0,0)}$, cioè uno scalare. Interpretando ${\displaystyle T_{b}^{a}}$ come endomorfismo, lo scalare è la traccia dell'endomorfismo, definita come la somma degli elementi ${\displaystyle T_{i}^{i}}$ che stanno sulla diagonale principale di una matrice associata ${\displaystyle T_{b}^{a}}$.

Bibliografia

• (EN) Donald H. Menzel. Mathematical Physics. Dover Publications, New York.
• (EN) Richard L. Bishop and Samuel I. Goldberg, Tensor Analysis on Manifolds, Dover, 1980, ISBN 0486640396.

Voci correlate

• Innalzamento e abbassamento degli indici