Criterio di Dirichlet (matematica)

Nel contesto dell'analisi matematica, il criterio di Dirichlet è un metodo per determinare la convergenza di particolari serie numeriche.

Enunciato

Siano ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ una successione di numeri complessi e ${\displaystyle \{b_{n}\}}$ una successione di numeri reali tali che:

• ${\displaystyle b_{1}\geq b_{2}\geq \cdots >0;}$

• ${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }b_{n}=0;}$

• ${\displaystyle \left|\sum _{n=1}^{N}a_{n}\right|\leq M}$ per ogni intero positivo ${\displaystyle N,}$ dove ${\displaystyle M}$ è indipendente dalla scelta di ${\displaystyle N.}$

Allora^[1] ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}}$ converge in ${\displaystyle \mathbb {C} .}$

Dimostrazione

Sia ${\displaystyle A_{n}=\sum _{i=0}^{n}{a_{i}}}$, e sia ${\displaystyle M\in \mathbb {R} }$ tale che ${\displaystyle M\geq |A_{n}|}$ per ogni intero non negativo ${\displaystyle n.}$ Allora, fissato un ${\displaystyle \varepsilon >0}$ esiste un intero ${\displaystyle N}$ tale che ${\displaystyle b_{N}\leq {\frac {\varepsilon }{2M}}.}$ Per ogni ${\displaystyle N\leq m\leq n}$ si ha allora, per parti^[1]:

${\displaystyle \left|\sum _{i=m}^{n}{a_{i}b_{i}}\right|=\left|\sum _{i=m}^{n-1}{A_{i}(b_{i}-b_{i+1})}+A_{n}b_{n}-A_{m-1}b_{m}\right|\leq M\left|\sum _{i=m}^{n-1}{(b_{i}-b_{i+1})}+b_{n}+b_{m}\right|=2Mb_{m}\leq 2Mb_{N}\leq \varepsilon .}$

Quindi, per il criterio di Cauchy, la serie è convergente. Q.E.D.

Corollari

Criterio di Leibniz

Lo stesso argomento in dettaglio: Criterio di Leibniz.

Il criterio di Dirichlet è una evidente generalizzazione del criterio di Leibniz, dove la successione ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ è la successione ${\displaystyle (-1)^{n}}$^[2].

Convergenza di una serie di potenze

Lo stesso argomento in dettaglio: Raggio di convergenza.

Sia ${\displaystyle \sum {b_{i}z^{i}}}$ una serie di potenze il cui raggio di convergenza è 1, e sia ${\displaystyle \{b_{n}\}}$ una successione non crescente e infinitesima per ${\displaystyle n\to \infty }$. Allora la serie di potenze converge in tutti i punti del cerchio ${\displaystyle C=\{z\in \mathbb {C} :|z|=1\}}$ tranne al più in ${\displaystyle z=1}$^[2].

Sia infatti ${\displaystyle \{a_{n}\}=z^{n}}$; si ha, per ${\displaystyle z\neq 1}$:

${\displaystyle |A_{n}|=\left|\sum _{i=0}^{n}{z^{i}}\right|=\left|{\frac {1-z^{n+1}}{1-z}}\right|\leq {\frac {2}{|1-z|}},}$

quindi la serie ${\displaystyle \sum {a_{i}b_{i}}=\sum {b_{i}z^{i}}}$ converge per il criterio di Dirichlet.

Note

1. Rudin, pagg. 70-71.
2. Rudin, pag. 71.

Bibliografia

• (EN) W. Rudin, Principles of Mathematical Analysis, A. A. Arthur, S. L. Langman, 1976, p. 70, ISBN 0-07-054235-X.

Voci correlate

• Criteri di convergenza
• Criterio di Leibniz
• Sommazione per parti

Collegamenti esterni

• (EN) William L. Hosch, Dirichlet’s test, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.

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