In matematica, in particolare in algebra lineare, la decomposizione di una matrice o fattorizzazione di una matrice è la fattorizzazione di una matrice nel prodotto di più matrici. Vi sono diverse decomposizioni matriciali in letteratura, ognuna delle quali associata ad una certa classe di problemi.
- Decomposizione LU
- Applicabile a: matrici quadrate.
- Decomposizione: , dove è una matrice triangolare inferiore e una matrice triangolare superiore.
- Decomposizione di Cholesky
- Applicabile a: matrici quadrate, matrici simmetriche, definite positive.
- Decomposizione: , dove è una matrice triangolare superiore con elementi sulla diagonale positivi.
- Decomposizione QR
- Applicabile a: matrici di dimensione .
- Decomposizione: dove è una matrice ortogonale di dimensione e una matrice triangolare superiore di dimensione .
- Decomposizione ai valori singolari
- Applicabile a: matrici di dimensione .
- Decomposizione: , dove è una matrice diagonale non-negativa, e sono matrici unitarie, e denota la trasposta coniugata di .
- Teorema spettrale
- Applicabile a: matrici quadrate con autovettori distinti (ma non necessariamente anche distinti autovalori).
- Decomposizione: , dove è una matrice diagonale composta da autovalori di e le colonne di sono i corrispondenti autovettori.
- Forma canonica di Jordan
- Applicabile a: matrici quadrate.
- La forma canonica di Jordan generalizza la decomposizione spettrale a casi in cui vi sono autovalori ripetuti e non è possibile effettuare la diagonalizzazione. Vi è inoltre la decomposizione di Jordan-Chevalley, che può essere facilmente descritta quando si conosce la forma canonica di Jordan; a differenza di essa, però, esiste sotto ipotesi più deboli (non richiede la scelta di una base).
- Decomposizione di Schur
- Applicabile a: matrici quadrate.
- Decomposizione (versione complessa): , dove è una matrice unitaria, è la trasposta coniugata e è una matrice triangolare superiore detta forma di Schur complessa, che possiede gli autovalori di sulla diagonale. Una matrice complessa ammette sempre una decomposizione di Schur.
- Decomposizione (versione reale): , dove , , e (la trasposta di ) sono matrici reali. In tal caso è ortogonale, è una matrice triangolare superiore a blocchi detta forma di Schur reale. Una matrice reale ammette una decomposizione di Schur se e solo se posside tutti gli autovalori reali.
- Decomposizione QZ
- Applicabile a: due matrici quadrate.
- Decomposizione (versione complessa): e dove e sono unitarie, e triangolari superiori.
- Decomposizione (versione reale): e , dove , , , , e sono matrici reali. In tal caso e sono ortogonali, e triangolari superiori a blocchi.
- Fattorizzazione di Takagi
- Applicabile a: matrici quadrate, complesse e simmetriche.
- Decomposizione: , dove è diagonale e non-negativa e è unitaria.
- Fattorizzazione non-negativa
- Applicabile a: matrici di dimensione non-negative.
- Decomposizione: , dove e possiedono elementi positivi.
- La fattorizzazione non negativa è una soluzione, in genere di minimo locale, della funzione obiettivo:
- con i vincoli e .
- (EN) Ben Noble e James W. Daniel, Applied linear algebra, Londra, Pearson Education, 1987, ISBN 978-01-30-41260-7. pp. Sect. 9.4–9.5
- (EN) David M. Young e Robert T. Gregory, A survey of numerical mathematics, Dover Pubs, 1989, ISBN 978-04-86-65691-5.
- (EN) Gilbert Strang, Linear algebra and its applications, Boston, Cengage Learning, Inc, 2004, ISBN 978-05-34-42200-4.
- (EN) Josef Stoer e Roland Bulirsch, Introduction to numerical analysis, Berlino, Springer, 1993.
- (EN) Harm Bart, Israel Gohberg e Marinus A. Kaashoek, Minimal factorization of matrix and operator functions, Basilea, Birkhäuser, 1979, ISBN 978-37-64-31139-1.
- (EN) Carl P. Simon e Lawrence E. Blume, Mathematics for Economists, New York, WW Norton & Co, 2010, ISBN 978-03-93-11752-3.
- matrice, decomposizione di una, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
- (EN) M. Hazewinkel, Matrix factorization, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.
- Online Matrix Calculator, su bluebit.gr. URL consultato il 17 aprile 2014 (archiviato dall'url originale il 12 dicembre 2008).
- GraphLab GraphLab collaborative filtering library, large scale parallel implementation of matrix decomposition methods (in C++) for multicore.