Diffeomorfismo locale

In matematica, un diffeomorfismo locale è una funzione che risulta essere un diffeomorfismo su aperti sufficientemente piccoli.

Un diffeomorfismo locale è un particolare omeomorfismo locale, spesso causato dall'invertibilità del differenziale di una funzione differenziabile, grazie al teorema di invertibilità locale.

Definizione

Sia

${\displaystyle f:M\to N}$

una funzione differenziabile fra due varietà differenziabili della stessa dimensione ${\displaystyle n}$ (ad esempio, due aperti di ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$). La funzione è un diffeomorfismo locale in un punto ${\displaystyle x}$ di ${\displaystyle M}$ se esiste un aperto ${\displaystyle U}$ contenente ${\displaystyle x}$ tale che ${\displaystyle f(U)}$ è aperto in ${\displaystyle N}$ e la restrizione

${\displaystyle f|_{U}:U\to f(U)\,\!}$

è un diffeomorfismo.

La funzione ${\displaystyle f}$ è un diffeomorfismo locale (senza specificare ${\displaystyle x}$) se è tale per ogni ${\displaystyle x}$ in ${\displaystyle M}$.

Proprietà

Un diffeomorfismo locale è in particolare un omeomorfismo locale. Quindi è una funzione aperta.

Un diffeomorfismo locale che è anche biiettivo è un diffeomorfismo.

Bibliografia

• Peter W. Michor, Topics in differential geometry, Providence, Rhode Island, American Mathematical Society, 2008, ISBN 978-0-8218-2003-2., MR 2428390.

Voci correlate

• Omeomorfismo locale
• Diffeomorfismo

Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica