Distribuzione di Skellam

Distribuzione di Skellam
Funzione di distribuzione discreta Nell'immagine i parametri sono stati indicati con la lettera ${\displaystyle \mu }$ anziché con la lettera ${\displaystyle \lambda }$
Funzione di ripartizione
Parametri	${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2}>0\ }$
Supporto	${\displaystyle \mathbb {Z} }$
Funzione di densità	${\displaystyle e^{-(\lambda _{1}+\lambda _{2})}\left({\frac {\lambda _{1}}{\lambda _{2}}}\right)^{\frac {n}{2}}I_{|n|}(2{\sqrt {\lambda _{1}\lambda _{2}}})}$
Valore atteso	${\displaystyle \lambda _{1}-\lambda _{2}}$
Varianza	${\displaystyle \lambda _{1}+\lambda _{2}\ }$
Indice di asimmetria	${\displaystyle {\frac {\lambda _{1}-\lambda _{2}}{(\lambda _{1}+\lambda _{2})^{\frac {3}{2}}}}}$
Curtosi	${\displaystyle {\frac {1}{\lambda _{1}+\lambda _{2}}}}$
Funzione generatrice dei momenti	${\displaystyle e^{\lambda _{1}e^{t}+\lambda _{2}e^{-t}-(\lambda _{1}+\lambda _{2})}}$
Funzione caratteristica	${\displaystyle e^{\lambda _{1}e^{it}+\lambda _{2}e^{-it}-(\lambda _{1}+\lambda _{2})}}$

In teoria delle probabilità la distribuzione di Skellam è una distribuzione di probabilità che governa la differenza tra due variabili aleatorie indipendenti aventi entrambe una distribuzione di Poisson. Prende il nome da John Gordon Skellam.^[1]

Definizione

La distribuzione di Skellam di parametri ${\displaystyle (\lambda _{1},\lambda _{2})}$ è la distribuzione di probabilità della variabile aleatoria

${\displaystyle Y=X_{1}-X_{2}}$

definita da due variabili aleatorie indipendenti ${\displaystyle X_{1}}$ e ${\displaystyle X_{2}}$ che seguono rispettivamente le distribuzioni di Poisson di parametri ${\displaystyle \lambda _{1}}$ e ${\displaystyle \lambda _{2}}$.

La distribuzione di probabilità di ${\displaystyle Y=X_{1}-X_{2}}$ è

${\displaystyle P(n)=e^{-(\lambda _{1}+\lambda _{2})}\left({\frac {\lambda _{1}}{\lambda _{2}}}\right)^{\frac {n}{2}}I_{|n|}(2{\sqrt {\lambda _{1}\lambda _{2}}})}$,

dove ${\displaystyle I_{\alpha }}$ è la funzione di Bessel di primo tipo modificata

Questa distribuzione si ricava dalle distribuzioni ${\displaystyle P(X_{i}=n_{i})=e^{-\lambda _{i}}\lambda _{i}^{n}/n!}$, esprimendo

${\displaystyle P(Y=n)=\sum _{n_{1}-n_{2}=n}P(X_{1}=n_{1})P(X_{2}=n_{2})={\frac {1}{e^{\lambda _{1}+\lambda _{2}}}}\left({\frac {\lambda _{1}}{\lambda _{2}}}\right)^{\frac {n}{2}}\sum {\frac {\lambda _{1}^{n_{1}-{\frac {n}{2}}}\lambda _{2}^{n_{2}+{\frac {n}{2}}}}{n_{1}!n_{2}!}}}$;

mostrando che ${\displaystyle \textstyle {\frac {P(Y=n)}{P(Y=-n)}}=\left({\frac {\lambda _{1}}{\lambda _{2}}}\right)^{n}}$ si ottiene la formula per la distribuzione di ${\displaystyle Y}$.

Nel caso particolare in cui entrambe le variabili ${\displaystyle X_{1}}$ e ${\displaystyle X_{2}}$ seguano la stessa distribuzione di probabilità ${\displaystyle \mathbb {P} (\lambda )}$, la distribuzione diventa simmetrica e la distribuzione è^[2]

${\displaystyle P(n)=e^{-2\lambda }I_{|n|}(2\lambda )}$.

Caratteristiche

La variabile aleatoria ${\displaystyle Y=X_{1}-X_{2}}$ con distribuzionedi Skellam di parametri ${\displaystyle (\lambda _{1},\lambda _{2})}$ ha

• speranza matematica

${\displaystyle E[Y]=E[X_{1}]-E[X_{2}]=\lambda _{1}-\lambda _{2}\ }$

• funzione caratteristica

${\displaystyle \phi _{Y}(t)=\phi _{X_{1}}(t)\phi _{X_{2}}(-t)=e^{\lambda _{1}e^{it}+\lambda _{2}e^{-it}-(\lambda _{1}+\lambda _{2})}}$

• funzione generatrice dei momenti

${\displaystyle g_{Y}(t)=g_{X_{1}}(t)g_{X_{2}}(-t)=e^{\lambda _{1}e^{t}+\lambda _{2}e^{-t}-(\lambda _{1}+\lambda _{2})}}$

Prendendo

${\displaystyle s=\lambda _{1}+\lambda _{2}}$ e ${\displaystyle d=\lambda _{1}+\lambda _{2}}$,

dalla funzione generatrice dei momenti si ricavano i primi momenti semplici

${\displaystyle \mu _{1}(Y)=d}$, ${\displaystyle \mu _{2}(Y)=d^{2}+s}$, ${\displaystyle \mu _{3}(Y)=d^{3}+3ds+d}$, ${\displaystyle \mu _{4}(Y)=d^{4}+6d^{2}s+4d^{2}+3s^{2}+s}$

e i primi momenti centrali

${\displaystyle m_{2}(Y)=s}$, ${\displaystyle m_{3}(Y)=d}$, ${\displaystyle m_{4}(Y)=3s^{2}+s}$;

in particolare si trovano la varianza

${\displaystyle {\text{Var}}(Y)=m_{2}(Y)=s=\lambda _{1}+\lambda _{2}\ }$

e gli indici di asimmetria e curtosi

${\displaystyle \gamma _{1}={\frac {m_{3}}{m_{2}^{3/2}}}={\frac {d}{s^{3/2}}}={\frac {\lambda _{1}-\lambda _{2}}{(\lambda _{1}+\lambda _{2})^{\frac {3}{2}}}}}$,

${\displaystyle \gamma _{2}={\frac {m_{4}}{m_{2}^{2}}}-3={\frac {3s^{2}+s}{s^{2}}}-3={\frac {1}{s}}=(\lambda _{1}+\lambda _{2})^{-1}}$.

Proprietà

La distribuzione di Poisson può essere considerata un caso particolare della distribuzione di Skellam, con parametri ${\displaystyle (\lambda ,0)}$; in altri termini, considerando la distribuzione degenere (${\displaystyle {P(X_{2}=0)=1}}$) un caso particolare di distribuzione di Poisson con parametro 0, la variabile aleatoria ${\displaystyle Y=X_{1}-X_{2}=X_{1}}$ è differenza di due variabili aleatorie indipendenti aventi distribuzioni di Poisson.

La somma e la differenza di due o più variabili aleatorie indipendenti che seguono distribuzioni di Skellam (o di Poisson) seguono entrambe una distribuzione di Skellam. Questa proprietà segue dalla definizione di distribuzione di Skellam e dall'analoga proprietà per la somma di due o più variabili aleatorie indipendenti con distribuzione di Poisson. Più precisamente, se ${\displaystyle X=X_{1}-X_{2}}$ e ${\displaystyle Y=Y_{1}-Y_{2}}$ seguono rispettivamante le distribuzioni di Skellam di parametri ${\displaystyle (\lambda _{1},\lambda _{2})}$ e ${\displaystyle (\mu _{1},\mu _{2})}$, allora

${\displaystyle -X=X_{2}-X_{1}}$ segue la distribuzione di Skellam di parametri ${\displaystyle (\lambda _{2},\lambda _{1})}$,

${\displaystyle X+Y=(X_{1}+Y_{1})-(X_{2}+Y_{2})}$ segue la distribuzione di Skellam di parametri ${\displaystyle (\lambda _{1}+\mu _{1},\lambda _{2}+\mu _{2})}$,

${\displaystyle X-Y=(X_{1}+Y_{2})-(X_{2}+Y_{1})}$ segue la distribuzione di Skellam di parametri ${\displaystyle (\lambda _{1}+\mu _{2},\lambda _{2}+\mu _{1})}$,

Note

1. (EN) J. G. Skellam, The Frequency Distribution of the Difference Between Two Poisson Variates Belonging to Different Populations (abstract), in Journal of the Royal Statistical Society, vol. 109, n. 3, 1946, pp. 296.
2. (EN) J. O. Irwin, The Frequency Distribution of the Difference between Two Independent Variates following the same Poisson Distribution (abstract), in Journal of the Royal Statistical Society, vol. 100, n. 3, 1937, pp. 415-416.

Voci correlate

• Distribuzione di Poisson
• Funzione di Bessel

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