Disuguaglianza di Bessel

In analisi funzionale, la disuguaglianza di Bessel, il cui nome è dovuto a Friedrich Bessel, è una proprietà dei coefficienti di Fourier rispetto ad un sistema ortonormale di un elemento ${\displaystyle x}$ in uno spazio di Hilbert. Una forma più forte della disuguaglianza è fornita dal teorema di Riesz-Fischer.

Sia ${\displaystyle H}$ uno spazio di Hilbert, e ${\displaystyle e_{1},e_{2},\dots }$ sia un sistema ortonormale in ${\displaystyle H}$. Allora, per qualsiasi ${\displaystyle x}$ in ${\displaystyle H}$ si ha che:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }\left\vert \left\langle x,e_{k}\right\rangle \right\vert ^{2}\leq \left\Vert x\right\Vert ^{2}}$

dove ${\displaystyle \langle ,\rangle }$ denota il prodotto interno dello spazio di Hilbert ${\displaystyle H}$. Se si definisce:

${\displaystyle x'=\sum _{k=1}^{\infty }\left\langle x,e_{k}\right\rangle e_{k}}$

la disuguaglianza di Bessel ci dice che la serie converge, infatti in questo caso si ottiene l'uguglianza dei termini e il vettore ${\displaystyle x'}$ può essere descritto completamente nel sistema ortonormale.

Per una successione ortonormale completa (ovvero una successione ortonormale che è una base ortonormale), vale l'identità di Parseval, ovvero vale l'uguaglianza al posto della disuguaglianza, ed inoltre:

${\displaystyle x=\sum _{k=1}^{\infty }\left\langle x,e_{k}\right\rangle e_{k}}$

La disuguaglianza di Bessel segue dall'identità:

${\displaystyle 0\leq \|x-\sum _{k=1}^{n}\langle x,e_{k}\rangle e_{k}\|^{2}=\|x\|^{2}-2\sum _{k=1}^{n}|\langle x,e_{k}\rangle |^{2}+\sum _{k=1}^{n}|\langle x,e_{k}\rangle |^{2}=\|x\|^{2}-\sum _{k=1}^{n}|\langle x,e_{k}\rangle |^{2}}$

che vale per qualsiasi ${\displaystyle n}$, escluso ${\displaystyle n}$ minore di ${\displaystyle -1}$.

Bibliografia

• (EN) K. Yosida, Functional analysis , Springer (1980) pp. Chapt. 8, Sect. 4; 5
• (EN) E.W. Cheney, Introduction to approximation theory , Chelsea, reprint (1982) pp. 203ff
• (EN) P.J. Davis, Interpolation and approximation , Dover, reprint (1975) pp. 108–126
• (EN) E. Hewitt, K.R. Stromberg, Real and abstract analysis , Springer (1965)

Voci correlate

• Base ortonormale
• Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz
• Identità di Parseval
• Spazio di Hilbert
• Teorema di Riesz-Fischer

Collegamenti esterni

• (EN) L.P. Kuptsov, Bessel inequality, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.
• (EN) Disuguaglianza di Bessel l'articolo sulla disuguaglianza di Bessel su MathWorld.

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