Disuguaglianza di Carleman

La disuguaglianza di Carleman è una disuguaglianza, il cui nome deriva da Torsten Carleman, che la dimostrò nel 1923^[1] e la usò per provare il teorema di Denjoy-Carleman su le classi di funzioni quasi analitiche.^[2][3]

Enunciato

Sia ${\displaystyle a_{1}}$, ${\displaystyle a_{2}}$, ${\displaystyle a_{3}}$, ... una successione di numeri reali non negativi, allora

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left(a_{1}a_{2}\cdots a_{n}\right)^{1/n}\leq e\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}.}$

La costante e nella disuguaglianza è ottimale, cioè la disuguaglianza non vale sempre se ${\displaystyle e}$ è sostituito da un numero più piccolo. La disuguaglianza è stretta (vale con ${\displaystyle <}$ invece di ${\displaystyle \leq }$) se qualche elemento della successione è non nullo.

Versione integrale

La disuguaglianza di Carleman possiede una versione integrale, la quale afferma che

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\exp \left\{{\frac {1}{x}}\int _{0}^{x}\ln f(t)dt\right\}dx\leq e\int _{0}^{\infty }f(x)dx}$

per ogni ${\displaystyle f\geq 0}$

Disuguaglianza di Carleson

Una generalizzazione, dovuta a Lennart Carleson, afferma il seguente enunciato:^[4]

per ogni funzione convessa ${\displaystyle g}$ con ${\displaystyle g(0)=0}$, e per ogni ${\displaystyle p>-1}$,

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{p}e^{-g(x)/x}dx\leq e^{p+1}\int _{0}^{\infty }x^{p}e^{-g'(x)}dx.}$

La disuguaglianza di Carleman corrisponde al caso ${\displaystyle p=0}$.

Dimostrazione

Una dimostrazione elementare è abbozzata di seguito. Dalla disuguagianza della media aritmetica e geometrica applicata a ${\displaystyle 1\cdot a_{1},2\cdot a_{2},\dots ,n\cdot a_{n}}$

${\displaystyle \mathrm {MG} (a_{1},\dots ,a_{n})=\mathrm {MG} (1a_{1},2a_{2},\dots ,na_{n})(n!)^{-1/n}\leq \mathrm {MA} (1a_{1},2a_{2},\dots ,na_{n})(n!)^{-1/n}}$

dove MG indica la media geometrica e MA quella aritmetica. Dall'approssimazione di Stirling si ottiene che ${\displaystyle n!\geq {\sqrt {2\pi n}}\,n^{n}e^{-n}}$, e applicata a ${\displaystyle n+1}$ implica

${\displaystyle (n!)^{-1/n}\leq {\frac {e}{n+1}}}$ per ogni ${\displaystyle n\geq 1.}$

Perciò,

${\displaystyle MG(a_{1},\dots ,a_{n})\leq {\frac {e}{n(n+1)}}\,\sum _{1\leq k\leq n}ka_{k}\,,}$

da cui

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}MG(a_{1},\dots ,a_{n})\leq \,e\,\sum _{k\geq 1}{\bigg (}\sum _{n\geq k}{\frac {1}{n(n+1)}}{\bigg )}\,ka_{k}=\,e\,\sum _{k\geq 1}\,a_{k}\,,}$

che dimostra la disuguaglianza. Oltretutto, la disuguaglianza della media aritmetica e geometrica di ${\displaystyle n}$ numeri non negativi si sa essere una uguaglianza se e solo se tutti i numeri coincidono, cioè in questo caso se e solo se ${\displaystyle a_{k}=C/k}$ per ${\displaystyle k=1,\dots ,n}$. Di conseguenza, la disuguaglianza di Carleman non è mai un'uguaglianza per le serie convergenti, a meno che tutti gli ${\displaystyle a_{n}}$ si annullino, poiché la serie armonica è divergente.

Si può provare la disuguaglianza di Carleman anche utilizzando la disuguaglianza di Hardy

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}}{n}}\right)^{p}\leq \left({\frac {p}{p-1}}\right)^{p}\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}^{p}}$

per ogni numero non negativo ${\displaystyle a_{1}}$,${\displaystyle a_{2}}$,... e ${\displaystyle p>1}$, sostituendo ogni ${\displaystyle a_{n}}$ con ${\displaystyle a^{1/p}}$ e con ${\displaystyle p\to \infty }$.

Note

1. T. Carleman, Sur les fonctions quasi-analytiques, Conférences faites au cinquième congres des mathématiciens Scandinaves, Helsinki (1923), 181-196.
2. John Duncan e Colin M. McGregor, Carleman's inequality, in Amer. Math. Monthly, vol. 110, n. 5, 2003, pp. 424–431, DOI:10.2307/3647829, MR 2040885.
3. Josip Pečarić e Kenneth B. Stolarsky, Carleman's inequality: history and new generalizations, in Aequationes Mathematicae, vol. 61, 1–2, 2001, pp. 49–62, DOI:10.1007/s000100050160, MR 1820809.
4. L. Carleson, A proof of an inequality of Carleman (PDF), in Proc. Amer. Math. Soc., vol. 5, 1954, pp. 932–933, DOI:10.1090/s0002-9939-1954-0065601-3.

Bibliografia

• G. H. Hardy, Littlewood J.E. e Pólya, G., Inequalities, 2nd ed, Cambridge University Press, 1952, ISBN 0-521-35880-9.
• Thermistocles M., editor Rassias, Survey on classical inequalities, Kluwer Academic, 2000, ISBN 0-7923-6483-X.
• Lars Hörmander, The analysis of linear partial differential operators I: distribution theory and Fourier analysis, 2nd ed, Springer, 1990, ISBN 3-540-52343-X.

Voci correlate

• Disuguaglianza di Hardy sulle successioni
• Successione

Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica