Disuguaglianza di Hardy sulle successioni

La disuguaglianza di Hardy sulle successioni è una disuguaglianza, il cui nome deriva da G. H. Hardy. Essa afferma che se ${\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3},\dots }$ è una successione di numeri reali non identicamente nulli, allora per ogni numero reale ${\displaystyle p>1}$ si ha

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}}{n}}\right)^{p}<\left({\frac {p}{p-1}}\right)^{p}\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}^{p}.}$

Una versione integrale della disuguaglianza afferma che se ${\displaystyle f}$ è una funzione integrabile a valori non negativi, allora

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{x}}\int _{0}^{x}f(t)\,dt\right)^{p}\,dx\leq \left({\frac {p}{p-1}}\right)^{p}\int _{0}^{\infty }f(x)^{p}\,dx.}$

L'uguaglianza vale se e solo se ${\displaystyle f(x)=0}$ quasi ovunque.

La disuguaglianza di Hardy fu per la prima volta pubblicata e dimostrata (anche se il caso discreto con una costante peggiore) nel 1920 in un commento di Hardy.^[1] La formulazione originale fu in una versione integrale leggermente diversa da quella sopra.

Note

1. G. H. Hardy, Note on a theorem of Hilbert, in Mathematische Zeitschrift, vol. 6, 3–4, 1920, pp. 314–317, DOI:10.1007/BF01199965.

Bibliografia

• G. H. Hardy, Littlewood J.E. e Pólya, G., Inequalities, 2nd ed, Cambridge University Press, 1952, ISBN 0-521-35880-9.

• Alois Kufner e Persson, Lars-Erik, Weighted inequalities of Hardy type, World Scientific Publishing, 2003, ISBN 981-238-195-3.

• Nader Masmoudi, About the Hardy Inequality, in Dierk Schleicher, Malte Lackmann (a cura di), An Invitation to Mathematics, Springer Berlin Heidelberg, 2011, ISBN 978-3-642-19533-4.

Voci correlate

• Disuguaglianza di Carleman
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