Disuguaglianza di Popoviciu

In analisi matematica, la disuguaglianza di Popoviciu è una disuguaglianza riguardante le funzioni convesse. È simile alla disuguaglianza di Jensen e fu pubblicata nel 1965 dal matematico rumeno Tiberiu Popoviciu^[1].

Enunciato

Sia ƒ una funzione da un intervallo ${\displaystyle I\subseteq \mathbb {R} }$ in ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Se ƒ è convessa, allora per tre punti qualsiasi ${\displaystyle x,y,z}$ di ${\displaystyle I}$,

${\displaystyle {\frac {f(x)+f(y)+f(z)}{3}}+f\left({\frac {x+y+z}{3}}\right)\geq {\frac {2}{3}}\left[f\left({\frac {x+y}{2}}\right)+f\left({\frac {y+z}{2}}\right)+f\left({\frac {z+x}{2}}\right)\right].}$

Viceversa, se ƒ è continua, allora è convessa se e solo se la disuguaglianza precedente vale per ogni x, y, z in ${\displaystyle I}$. Se ƒ è strettamente convessa, la disuguaglianza è stretta ad eccezione del caso x = y = z.^[2]

Vi sono delle generalizzazioni pesate di questa disuguaglianza, oppure con un qualsiasi numero finito di punti anziché 3.^[3][4]

Note

1. Tiberiu Popoviciu, Sur certaines inégalités qui caractérisent les fonctions convexes, in Analele ştiinţifice Univ. "Al.I. Cuza" Iasi, Secţia I a Mat., vol. 11, 1965, pp. 155-164.
2. Constantin Niculescu, Lars Erik Persson, Convex functions and their applications: a contemporary approach, Springer Science & Business, 2006, p. 12, ISBN 978-0-387-24300-9.
3. Darij Grinberg (2008). Generalizations of Popoviciu's inequality. arXiv:0803.2958v1
4. J. E. Pečarić, Frank Proschan, Yung Liang Tong, Convex functions, partial orderings, and statistical applications, Academic Press, 1992, p. 171, ISBN 978-0-12-549250-8.