Disuguaglianza di Prékopa-Leindler

In matematica, la disuguaglianza di Prékopa-Leindler è una disuguaglianza integrale strettamente correlata alla disuguaglianza inversa di Young, alla disuguaglianza di Brunn-Minkowski e ad altre numerose, importanti e classiche disuguaglianze in analisi. Il risultato porta il nome dei matematici ungheresi András Prékopa e László Leindler.

Enunciato della disuguaglianza

Sia 0 < λ < 1 e siano f, g, h : Rⁿ → [0, +∞) due funzioni misurabili a valori reali non negative definite su uno spazio euclideo n-dimensionale Rⁿ. Supponiamo che queste funzioni soddisfino

${\displaystyle h\left((1-\lambda )x+\lambda y\right)\geq f(x)^{1-\lambda }g(y)^{\lambda }}$ (equazione 1)

per ogni x e y appartenenti a Rⁿ. Allora

${\displaystyle \|h\|_{1}:=\int _{\mathbb {R} ^{n}}h(x)\,\mathrm {d} x\geq \left(\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)\,\mathrm {d} x\right)^{1-\lambda }\left(\int _{\mathbb {R} ^{n}}g(x)\,\mathrm {d} x\right)^{\lambda }=:\|f\|_{1}^{1-\lambda }\|g\|_{1}^{\lambda }.\,}$

Forma essenziale della disuguaglianza

Ricordiamo che l'estremo superiore essenziale di una funzione misurabile f : Rⁿ → R è definito da

${\displaystyle \mathop {\mathrm {ess\,sup} } _{x\in \mathbb {R} ^{n}}f(x)=\inf \left\{t\in [-\infty ,+\infty ]\mid f(x)\leq t{\text{ per quasi tutti }}x\in \mathbb {R} ^{n}\right\}.}$

Questa notazione consente di enunciare la seguente forma essenziale della disuguaglianza di Prékopa-Leindler: sia 0 < λ < 1 e siano f, g ∈ L¹(Rⁿ; [0, +∞)) due funzioni non negative assolutamente integrabili. Sia

${\displaystyle s(x)=\mathop {\mathrm {ess\,sup} } _{y\in \mathbb {R} ^{n}}f\left({\frac {x-y}{1-\lambda }}\right)^{1-\lambda }g\left({\frac {y}{\lambda }}\right)^{\lambda }.}$

Allora s è misurabile e

${\displaystyle \|s\|_{1}\geq \|f\|_{1}^{1-\lambda }\|g\|_{1}^{\lambda }.}$

La forma basata sull'estremo superiore essenziale venne presentata in.^[1] Il suo utilizzo può cambiare il membro sinistro della disuguaglianza. Per esempio, una funzione g che assume il valore 1 esattamente in un punto, di solito, non produrrà un membro sinistro uguale a zero nella forma non basata sull'estremo superiore essenziale, ma produrrà sempre un membro sinistro uguale a zero nella forma basata sull'estremo superiore essenziale.

Relazione con la disuguaglianza di Brunn-Minkowski

Si può dimostrare che l'usuale disuguaglianza di Prékopa-Leindler implica la disuguaglianza di Brunn-Minkowski nella forma seguente: se 0 < λ < 1 e A e B sono sottoinsiemi misurabili limitati di Rⁿ tali che la somma di Minkowski (1 − λ)A + λB è anche misurabile, allora

${\displaystyle \mu \left((1-\lambda )A+\lambda B\right)\geq \mu (A)^{1-\lambda }\mu (B)^{\lambda },}$

dove μ denota la misura di Lebesgue n-dimensionale. Quindi, la disuguaglianza di Prékopa-Leindler può anche essere usata^[2] per dimostrare la disuguaglianza di Brunn-Minkowski nella sua forma più familiare: se 0 < λ < 1 e A e B sono sottoinsiemi misurabili limitati non vuoti di Rⁿ tali che (1 − λ)A + λB è anche misurabile, allora

${\displaystyle \mu \left((1-\lambda )A+\lambda B\right)^{1/n}\geq (1-\lambda )\mu (A)^{1/n}+\lambda \mu (B)^{1/n}.}$

Applicazioni in probabilità e statistica

La disuguaglianza di Prékopa-Leindler risulta utile nella teoria delle distribuzioni logaritmicamente concave, poiché essa può essere usata per mostrare che la concavità logaritmica è conservata dalla marginalizzazione e dalla somma indipendente di variabili casuali distribuite logaritmicamente concave. Supponiamo che H(x,y) sia una distribuzione logaritmicamente concava per (x,y) ∈ R^m × Rⁿ, in modo tale che dalla definizione abbiamo

${\displaystyle H\left((1-\lambda )(x_{1},y_{1})+\lambda (x_{2},y_{2})\right)\geq H(x_{1},y_{1})^{1-\lambda }H(x_{2},y_{2})^{\lambda }}$ (equazione 2),

mentre M(y) denoti la distribuzione marginale ottenuta dall'integrazione su x:

${\displaystyle M(y)=\int _{\mathbb {R} ^{m}}H(x,y)\,dx.}$

Siano dati y₁, y₂ ∈ Rⁿ e 0 < λ < 1. Allora l'equazione 2 soddisfa la condizione corrispondente all'equazione 1 con h(x) = H(x,(1 − λ)y₁ + λy₂), f(x) = H(x,y₁) and g(x) = H(x,y₂), così si applica la disuguaglianza di Prékopa-Leindler. Ciò può essere scritto in termini di M come

${\displaystyle M((1-\lambda )y_{1}+\lambda y_{2})\geq M(y_{1})^{1-\lambda }M(y_{2})^{\lambda },}$

che è la definizione di concavità logaritmica per M.

Per vedere come questo implichi la conservazione della convessità logaritmica nelle somme indipendenti, supponiamo che X e Y siano variabili casuali indipendenti con distribuzione logaritmicamente concava. Poiché il prodotto di due funzioni logaritmicamente concave è logaritmicamente concavo, la distribuzione congiunta di (X,Y) è anche logaritmicamente concava. La concavità logaritmica è conservata da cambiamenti affini di coordinate, dunque anche la distribuzione di (X + Y, X − Y) è logaritmicamente concava. Poiché la distribuzione di X+Y è marginale sulla distribuzione congiunta di (X + Y, X − Y), noi concludiamo che X + Y ha una distribuzione logaritmicamente concava.

Note

1. Herm Jan Brascamp and Elliott H. Lieb, On extensions of the Brunn–Minkowski and Prekopa–Leindler theorems, including inequalities for log concave functions and with an application to the diffusion equation, in Journal of Functional Analysis, vol. 22, n. 4, 1976, pp. 366–389, DOI:10.1016/0022-1236(76)90004-5.
2. Gardner, Richard J. (2002). "The Brunn–Minkowski inequality". Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 39 (3): pp. 355–405 (electronic). doi:10.1090/S0273-0979-02-00941-2. ISSN 0273-0979.

Bibliografia

• Richard J. Gardner, The Brunn–Minkowski inequality (PDF), in Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.), vol. 39, n. 3, 2002, pp. 355–405 (electronic), DOI:10.1090/S0273-0979-02-00941-2, ISSN 0273-0979 (WC · ACNP).
• András Prékopa, Logarithmic concave measures with application to stochastic programming (PDF), in Acta Sci. Math., vol. 32, 1971, pp. 301–316.
• András Prékopa, On logarithmic concave measures and functions (PDF), in Acta Sci. Math., vol. 34, 1973, pp. 335–343.

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