Disuguaglianza di Pólya-Szegő

In analisi funzionale, una branca della matematica, la disuguaglianza di Pólya-Szegő o disuguaglianza di Szegő afferma che se una funzione appartiene allo spazio di Sobolev ${\displaystyle W^{1,p}}$ allora anche il suo riordinamento radiale appartiene a tale spazio; inoltre il riordinamento ha norma minore o al più uguale.

La disuguaglianza

Siano ${\displaystyle 1\leq p<+\infty }$ e ${\displaystyle u:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{+}}$ di ${\displaystyle W^{1,p}(\mathbb {R} ^{n})}$. Allora vale:

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}|\nabla u^{*}|^{p}d{\mathcal {H}}^{n}\leq \int _{\mathbb {R} ^{n}}|\nabla u|^{p}d{\mathcal {H}}^{n}}$

Dimostrazione

La dimostrazione fa uso della disuguaglianza di Hölder, della formula di coarea e della disuguaglianza isoperimetrica, ed è più semplice nel caso in cui ${\displaystyle p>1}$. Sia ${\displaystyle \Omega }$ un aperto contenente il compatto su cui è definita la funzione.

Le funzioni ${\displaystyle C^{\infty }}$ a supporto compatto in ${\displaystyle \Omega }$ sono un sottoinsieme denso di ${\displaystyle W_{0}^{1,p}(\Omega )}$. Si può trovare quindi una successione ${\displaystyle u_{k}}$ tale che ${\displaystyle u_{k}\to u}$ in norma ${\displaystyle W^{1,p}(\Omega )}$. Le ${\displaystyle u_{k}}$ sono chiaramente Lipschitziane essendo almeno ${\displaystyle C^{1}(\Omega )}$ e a supporto compatto. Per le funzioni Lipschitziane vale:

${\displaystyle \left(\int _{\mathbb {R} ^{n}}|\nabla u_{k}^{*}(x)|^{p}dx\right)^{\frac {1}{p}}\leqslant \left(\int _{\mathbb {R} ^{n}}|\nabla u_{k}(x)|^{p}dx\right)^{\frac {1}{p}}}$

La successione di funzioni ${\displaystyle u_{k}}$ è convergente in ${\displaystyle W^{1,p}(\Omega )}$, e quindi limitata. Quindi la successione ${\displaystyle u_{k}^{*}}$ è limitata in ${\displaystyle W^{1,p}(\Omega )}$. Lo spazio ${\displaystyle W^{1,p}(\Omega )}$ è uno spazio riflessivo, esiste allora una sottosuccessione debolmente convergente. Cioè esiste ${\displaystyle v\in W^{1,p}(\Omega )}$ tale che:

${\displaystyle u_{k_{j}}^{*}{\overset {W^{1,p}}{\rightharpoonup }}v}$

e per la semicontinuità della norma in topologia debole:

${\displaystyle {\begin{aligned}\|v\|_{W_{1,p}}&\leqslant \liminf _{j\to \infty }\|u_{k_{j}}^{*}\|_{W_{1,p}}\\&\leqslant \liminf _{j\to \infty }\|u_{k_{j}}\|_{W_{1,p}}\\&=\|u\|_{W_{1,p}}\end{aligned}}}$

La convergenza debole in ${\displaystyle W^{1,p}}$ implica la convergenza forte in ${\displaystyle L^{p}}$ e la convergenza forte implica l'esistenza di una sottosuccessione convergente puntualmente. Quindi a meno di passare a una sottosuccessione si può supporre ${\displaystyle u_{k}^{*}\to v}$ puntualmente. Essendo ${\displaystyle \Omega }$ limitato si ha l'inclusione compatta di ${\displaystyle W^{1,p}(\Omega )}$ in ${\displaystyle L^{p}(\Omega )}$ e quindi a meno di passare a una sottosuccessione si può supporre che anche ${\displaystyle u_{k}\to u}$ puntualmente. Il limite puntuale delle riarrangiate coincide con la riarrangiata dei limiti puntuali, quindi si ottiene che ${\displaystyle v=u^{*}}$.

Bibliografia

• (EN) G. A. Anastassiou, Fractional Differentiation Inequalities, Springer, Dordrecht, 2009. ISBN 978-0-387-98127-7 (Print) 978-0-387-98128-4 (Online)
• (EN) Z. Dahmani; L. Tabharit, On weighted Grüss type inequalities via fractional integration^{[collegamento interrotto]}, J. Adv. Res. Pure Math. 2 (2010), 31{38.

Voci correlate

• Formula di coarea
• Gábor Szegő
• George Polya
• Riordinamento radiale
• Spazio di Sobolev
• Teorema di Brothers-Ziemer

Collegamenti esterni

• (EN) Ahmed Anber, Zoubir Dahmani - New integral results using Pólya–Szegő inequality, su acutm.math.ut.ee.
• (EN) Hichem Hajaiej - Generalized Polya-szego Inequality (PDF), su arxiv.org.

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