Dodecadodecaedro camuso

Dodecadodecaedro camuso
Tipo	Poliedro stellato uniforme
Forma facce	60 triangoli 12 pentagoni 12 pentagrammi
Nº facce	84
Nº spigoli	150
Nº vertici	60
Caratteristica di Eulero	-6
Incidenza dei vertici	3.3.^5/2.3.5
Notazione di Wythoff	| 2 ^5/2 5
Notazione di Schläfli	sr{^5/2,5}
Diagramma di Coxeter-Dynkin
Gruppo di simmetria	I, [5,3]^+, 532
Duale	Esacontaedro pentagonale medio
Proprietà	Non convessità
Politopi correlati
Figura al vertice Poliedro duale

In geometria, il dodecadodecaedro camuso è un poliedro stellato uniforme avente 84 facce - 60 triangolari, 12 pentagonali e 12 a forma di pentagramma - 150 spigoli e 60 vertici.^[1]

Coordinate cartesiane

Le coordinate cartesiane per i vertici del dodecadodecaedro camuso, spesso indicato con il simbolo U₄₀ e il cui inviluppo convesso è un dodecaedro camuso non uniforme, sono date da tutte le permutazioni pari di:

${\displaystyle \left(\,\pm 2\alpha ,\,\pm 2,\,\pm 2\beta \,\right)}$

${\displaystyle \left(\,\pm (\alpha +\beta \varphi ^{-1}+\varphi ),\,\pm (-\alpha \varphi +\beta +\varphi ^{-1}),\,\pm (\alpha \varphi ^{-1}+\beta \varphi -1)\,\right)}$

${\displaystyle \left(\,\pm (-\alpha \varphi ^{-1}+\beta \varphi +1),\,\pm (-\alpha +\beta \varphi ^{-1}-\varphi ),\,\pm (\alpha \varphi +\beta -\varphi ^{-1})\,\right)}$

${\displaystyle \left(\,\pm (-\alpha \varphi ^{-1}+\beta \varphi -1),\,\pm (\alpha -\beta \varphi ^{-1}-\varphi ),\,\pm (\alpha \varphi +\beta +\varphi ^{-1})\,\right)}$

${\displaystyle \left(\,\pm (\alpha +\beta \varphi ^{-1}-\varphi ),\,\pm (\alpha \varphi -\beta +\varphi ^{-1}),\,\pm (\alpha \varphi ^{-1}+\beta \varphi +1)\,\right)}$

con un numero pari di segni più, dove $${\displaystyle \beta ={\frac {\ \ {\frac {\alpha ^{2}}{\varphi }}+\varphi \ \ }{\ \alpha \varphi -{\frac {1}{\varphi }}}}\ ,}$$ ${\displaystyle \varphi ={\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$ è la sezione aurea e α è la radice reale positiva di $${\displaystyle \varphi \alpha ^{4}-\alpha ^{3}+2\alpha ^{2}-\alpha -{\frac {1}{\varphi }}\quad \implies \quad \alpha \approx 0,7964421.}$$

Poliedri correlati

Esacontaedro pentagonale medio

Esacontaedro pentagonale medio
Tipo	Poliedro stellato
Forma facce	Pentagoni irregolari
Nº facce	60
Nº spigoli	150
Nº vertici	84
Caratteristica di Eulero	-6
Gruppo di simmetria	I, [5,3]^+, 532
Duale	Dodecadodecaedro camuso

L'esacontaedro pentagonale medio è un poliedro stellato isoedro, nonché il duale del dodecadodecaedro camuso, avente per facce 60 pentagoni irregolari.^[2]

Dato un dodecadodecaedro camuso di spigolo pari a 1, immaginando l'esacontaedro pentagonale medio come composto da 60 facce intersecanti a forma di pentagono irregolare, come riportato nella figura sottostante, di cui solo una parte visibile all'esterno del solido, e considerando la già citata sezione aurea e il numero ${\displaystyle \xi \approx -0,409\,037\,788\,014\,42}$, ogni faccia risulta avere tre angoli uguali di ampiezza pari a ${\displaystyle \arccos(\xi )\approx 114,144\,404\,470\,43^{\circ }}$, uno di ampiezza pari a ${\displaystyle \arccos(\varphi ^{2}\xi +\varphi )\approx 56,827\,663\,280\,94^{\circ }}$ e l'ultimo di ampiezza pari a ${\displaystyle \arccos(\varphi ^{-2}\xi -\varphi ^{-1})\approx 140,739\,123\,307\,76^{\circ }}$, con due lati di lunghezza pari a $${\displaystyle 1+{\sqrt {\frac {1-\xi }{-\varphi ^{-3}-\xi }}}\approx 3,854\,145\,870\,08,}$$ due più corti di lunghezza $${\displaystyle 1+{\sqrt {\frac {1-\xi }{\varphi ^{3}-\xi }}}\approx 1,550\,761\,427\,20,}$$ e uno medio di lunghezza 2.

Note

1. Roman Maeder, 40: snub dodecadodecahedron, su Mathconsult. URL consultato il 24 marzo 2024.
2. Magnus J. Wenninger, Dual Models, Cambridge University Press, 2004, pp. 120. URL consultato il 20 marzo 2024.

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Dodecadodecaedro camuso, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Eric W. Weisstein, Esacontaedro pentagonale medio, in MathWorld, Wolfram Research. URL consultato il 20 marzo 2024.

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