Fattorione

In teoria dei numeri, un fattorione in una data base numerica ${\displaystyle b}$ è un numero naturale che è uguale alla somma dei fattoriali delle sue cifre.^[1][2][3] Il nome fattorione è stato coniato da Clifford A. Pickover.^[4]

Definizione

Sia ${\displaystyle n}$ un numero naturale. Definiamo la somma del fattoriale delle cifre^[5] di ${\displaystyle n}$ in una base ${\displaystyle b>1}$ come la funzione ${\displaystyle SFD_{b}:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N} }$ data da:

${\displaystyle SFD_{b}(n)=\sum _{i=0}^{k-1}d_{i}!.}$

dove ${\displaystyle k=\lfloor \log _{b}{n}\rfloor +1}$ è il numero di cifre nel numero in base ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle n!}$ è il fattoriale di ${\displaystyle n}$ e

${\displaystyle d_{i}={\frac {n{\bmod {b^{i+1}}}-n{\bmod {b^{i}}}}{b^{i}}}}$

è il valore di ogni cifra del numero. Un numero naturale ${\displaystyle n}$ è un ${\displaystyle b}$-fattorione se è un punto fisso per ${\displaystyle SFD_{b}}$, cioè se ${\displaystyle SFD_{b}(n)=n}$. ${\displaystyle 1}$ e ${\displaystyle 2}$ sono punti fissi per tutte le basi ${\displaystyle b}$, e quindi sono fattorioni banali in ogni base; tutti gli altri eventuali fattorioni sono fattorioni non banali.

Ad esempio, il numero 145 in base ${\displaystyle b=10}$ è un fattorione perché ${\displaystyle 145=1!+4!+5!.}$

Similmente a quanto si ha con la fattorizzazione, un numero naturale ${\displaystyle n}$ è un fattorione socievole se è un punto periodico per ${\displaystyle SFD_{b}}$, cioè ${\displaystyle SFD_{b}^{k}(n)=n}$ per un numero intero positivo ${\displaystyle k}$ e pertanto ${\displaystyle n}$ forma un ciclo di periodo ${\displaystyle k}$. Un fattorione è un fattorione socievole con ${\displaystyle k=1}$, e un fattorione amichevole è un fattorione socievole con ${\displaystyle k=2}$.^[6][7]

Tabella dei fattorioni e dei cicli di SFD_b

Tutti i numeri sono rappresentati in base ${\displaystyle b}$.

Base ${\displaystyle b}$	Fattorioni non banali ( ${\displaystyle n\neq 1}$, ${\displaystyle n\neq 2}$ )[8]	Cicli
2	${\displaystyle \varnothing }$	${\displaystyle \varnothing }$
3	${\displaystyle \varnothing }$	${\displaystyle \varnothing }$
4	13	3 → 12 → 3
5	144	${\displaystyle \varnothing }$
6	41, 42	${\displaystyle \varnothing }$
7	${\displaystyle \varnothing }$	36 → 2055 → 465 → 2343 → 53 → 240 → 36
8	${\displaystyle \varnothing }$	3 → 6 → 1320 → 12 175 → 12051 → 175
9	62558
10	145, 40585	871 → 45361 → 871[7] 872 → 45362 → 872[6]

Note

1. (EN) On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, https://oeis.org/A014080 Titolo mancante per url url (aiuto).
2. Martin Gardner, Stranezze dei fattoriali, in Show di magia matematica, Zanichelli, 1980, p. 42,44.
3. (EN) Joseph S. Madachy, Madachy's Mathematical Recreations, Dover Publications, Inc., 1979, ISBN 9780486237626.
4. (EN) Clifford A. Pickover, The Loneliness of the Factorions, in Keys to Infinity, 1995, ISBN 9780471193340.
5. (EN) On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, https://oeis.org/A061602 Titolo mancante per url url (aiuto).
6. (EN) On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, https://oeis.org/A214285 Titolo mancante per url url (aiuto).
7. (EN) On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, https://oeis.org/A254499 Titolo mancante per url url (aiuto).
8. (EN) On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, https://oeis.org/A193163 Titolo mancante per url url (aiuto).

Voci correlate

• Numero felice
• Numero di Kaprekar
• Numero di Armstrong
• Numero di Münchhausen

Collegamenti esterni

• (EN) Fattorioni presso Wolfram MathWorld