Funzione di Whittaker

In matematica, una funzione di Whittaker, il cui nome si deve al matematico inglese Edmund Taylor Whittaker, è una soluzione dell'equazione di Whittaker, una variante dell'equazione ipergeometrica confluente che ha la forma:

${\displaystyle {\frac {d^{2}W}{dz^{2}}}+\left(-{\frac {1}{4}}+{\frac {\kappa }{z}}+{\frac {{\frac {1}{4}}-m^{2}}{z^{2}}}\right)W=0}$

dove ${\displaystyle \kappa }$ e ${\displaystyle m}$ assumono valori in ${\displaystyle \mathbb {C} }$.

Si tratta di un'equazione differenziale lineare del secondo ordine, ed è una forma ridotta dell'equazione ipergeometrica degenere. Più in generale, Hervé Jacquet introdusse negli anni '60 le funzioni di Whittaker per gruppi riduttivi su campi locali: le funzioni studiate da Whittaker sono sostanzialmente il caso in cui il campo locale è quello dei numeri reali e il gruppo è ${\displaystyle SL_{2}(\mathbb {R} )}$.

Due soluzioni sono date dalle funzioni speciali ${\displaystyle M_{\kappa ,m}}$ e ${\displaystyle W_{\kappa ,m}}$ introdotte da Whittaker nel 1904, e dette funzioni di Whittaker. La funzione ${\displaystyle M_{\kappa ,m}}$ può essere espressa con la funzione ipergeometrica confluente di Kummer:

${\displaystyle M_{\kappa ,m}(z)=e^{-z/2}z^{m+1/2}M(1/2+m-\kappa ,1+2m,z)}$

La funzione ${\displaystyle W_{\kappa ,m}}$ può invece essere espressa mediante la funzione ipergeometrica confluente di Tricomi:

${\displaystyle W_{\kappa ,m}(z)=e^{-z/2}z^{m+1/2}U(1/2+m-\kappa ,1+2m,z)}$

Whittaker ha ottenuto formule per esprimere funzioni speciali come le funzioni di Bessel, le funzioni paraboliche del cilindro, o la funzione gamma incompleta con le funzioni ${\displaystyle M_{\kappa ,m}}$ e ${\displaystyle W_{\kappa ,m}}$.

Bibliografia

• (EN) E. T. Whittaker, An expression of certain known functions as generalized hypergeometric functions, Bull. Amer. Math. Soc. 10, 125-134 (1903).
• (EN) E. T. Whittaker; G. N. Watson, A course of modern analysis : an introduction to the general theory of infinite processes and of analytic functions ; with an account of the principal transcendental functions, Cambridge University Press, 1915.
• (EN) H. A. Lauwerier, Confluent hypergeometric functions^{[collegamento interrotto]}, Center voor Wiskunde en Informatica, 1949
• (EN) M. Abramowitz; I. Stegun, Handbook of Mathematical Functions (Dover, New York, 1972) [1]

Voci correlate

• Equazione ipergeometrica
• Equazione ipergeometrica confluente
• Equazioni di Bessel
• Funzione parabolica del cilindro

Collegamenti esterni

• (EN) N.Kh. Rozov, Whittaker equation, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.
• (EN) Eric W. Weisstein, Whittaker Function, su MathWorld, Wolfram Research.

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