Funzione logaritmicamente concava

In analisi convessa, una funzione non negativa ${\displaystyle f:R^{n}\to R_{+}}$ è logaritmicamente concava se il suo dominio è un insieme convesso e se soddisfa la disuguaglianza

${\displaystyle f(\theta x+(1-\theta )y)\geq f(x)^{\theta }f(y)^{1-\theta }}$

per ogni ${\displaystyle x,y\in domf}$ e ${\displaystyle 0<\theta <1}$. Se ${\displaystyle f}$ è strettamente positiva, ciò è equivalente a dire che il logaritmo della funzione, ossia ${\displaystyle \log \circ f}$, è una funzione concava; quindi,

${\displaystyle \log f(\theta x+(1-\theta )y)\geq \theta \log f(x)+(1-\theta )\log f(y)}$

per ogni ${\displaystyle x,y\in domf}$ e ${\displaystyle 0<\theta <1}$.

Esempi di funzioni logaritmicamente concave sono le funzioni indicatrici 0-1 di insiemi convessi (che richiedono la definizione più flessibile) e la funzione gaussiana.

Analogamente, una funzione è logaritmicamente convessa se soddisfa la disuguaglianza opposta

${\displaystyle f(\theta x+(1-\theta )y)\leq f(x)^{\theta }f(y)^{1-\theta }}$

per ogni ${\displaystyle x,y\in domf}$ e ${\displaystyle 0<\theta <1}$.

Proprietà

• Una funzione logaritmicamente concava positiva è anche una funzione quasi-concava.
• Ogni funzione concava che è non negativa sul suo dominio è logaritmicamente concava. Tuttavia, non vale necessariamente il viceversa. Un esempio è la funzione gaussiana ${\displaystyle f(x)=\exp(-{\frac {x^{2}}{2}})}$ che è logaritmicamente concava poiché ${\displaystyle \log f(x)=-{\frac {x^{2}}{2}}}$ è una funzione concava di ${\displaystyle x}$. Ma ${\displaystyle f}$ non è concava poiché la sua derivata seconda è positiva per ${\displaystyle |x|>1}$:

${\displaystyle f''(x)=e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}(x^{2}-1)\nleq 0}$

• Una funzione non negativa, due volte differenziabile, con un dominio convesso è logaritmicamente concava se e solo se per ogni ${\displaystyle x}$ tale che ${\displaystyle f(x)>0}$,

${\displaystyle f(x)\nabla ^{2}f(x)\preceq \nabla f(x)\nabla f(x)^{T}}$,^[1]

ossia

${\displaystyle f(x)\nabla ^{2}f(x)-\nabla f(x)\nabla f(x)^{T}}$ è

semi-definita negativa. Per funzioni di una variabile, questa condizione si riduce a

${\displaystyle f(x)f''(x)\leq (f'(x))^{2}}$

Operazioni che conservano la concavità logaritmica

• Prodotto: Il prodotto di funzioni logaritmicamente concave è anch'esso una funzione logaritmicamente concava. Infatti, se ${\displaystyle f}$ e ${\displaystyle g}$ sono funzioni logaritmicamente concave, allora ${\displaystyle \log f}$ e ${\displaystyle \log g}$ sono concave per definizione. Perciò

${\displaystyle \log \,f(x)+\log \,g(x)=\log(f(x)g(x))}$

è concava e quindi anche ${\displaystyle fg}$ è logaritmicamente concava.

• Marginalizzazione: Se ${\displaystyle f(x,y):R^{n+m}\to R}$ è logaritmicamente concava, allora

${\displaystyle g(x)=\int f(x,y)dy}$

è logaritmicamente concava (vedere disuguaglianza di Prékopa-Leindler).

• Ciò implica che la convoluzione conserva la concavità logaritmica, poiché ${\displaystyle h(x,y)=f(x-y)g(y)}$ è logaritmicamente concava se ${\displaystyle f}$ e ${\displaystyle g}$ sono logaritmicamente concave, e perciò

${\displaystyle (f*g)(x)=\int f(x-y)g(y)dy=\int h(x,y)dy}$

è logaritmicamente concava.

Distribuzioni logaritmicamente concave

Le distribuzioni logaritmicamente concave sono necessarie per un certo numero di algoritmi, ad esempio adaptive rejection sampling.

Come è noto, molte distribuzioni di probabilità comuni sono logaritmicamente concave. Alcuni esempi:^[2]

• la distribuzione normale e le distribuzioni normali multivariate;
• la distribuzione esponenziale;
• la distribuzione uniforme su ogni insieme convesso;
• la distribuzione logistica;
• la distribuzione dei valori estremi;
• la distribuzione di Laplace;
• la distribuzione chi;
• la distribuzione chi quadrato se il numero di gradi di libertà è >= 2;
• la distribuzione di Wishart, in cui n >= p + 1;^[3]
• la distribuzione di Dirichlet, in cui tutti i parametri siano >= 1;^[3]
• la distribuzione Gamma se il parametro di forma è >= 1;
• la distribuzione beta se entrambi i parametri di forma sono >= 1;
• la distribuzione di Weibull se il parametro di forma è >= 1.

Notiamo che tutte le restrizioni sui parametri hanno la stessa motivazione di base: l'esponente di una quantità non negativa deve essere non negativo in modo che la funzione sia logaritmicamente concava.

Le seguenti distribuzioni sono non logaritmicamente concave per ogni scelta dei parametri:

• la distribuzione t di Student;
• la distribuzione di Cauchy;
• la distribuzione di Pareto;
• la distribuzione lognormale;
• la distribuzione F.

Notare che la funzione cumulativa di tutte le distribuzioni logaritmicamente concave è anch'essa logaritmicamente concava. Tuttavia, alcune distribuzioni non logaritmicamente concave pure hanno funzioni cumulative logaritmicamente concave:

• la distribuzione lognormale;
• la distribuzione di Pareto;
• la distribuzione di Weibull quando il parametro di forma è < 1;
• la distribuzione Gamma quando il parametro di forma è < 1.

Le seguenti sono alcune tra le proprietà delle distribuzioni logaritmicamente concave:

• se la densità è logaritmicamente concava, tale è la sua funzione cumulativa;
• se una densità multivariata è logaritmicamente concava, tale è la densità marginale su ogni sottoinsieme di variabili.
• la somma di due variabili casuali logaritmicamente concave indipendenti è logaritmicamente concava; ciò segue dal fatto che la convoluzione di due funzioni logaritmicamente concave è logaritmicamente concava;
• il prodotto di due funzioni logaritmicamente concave è logaritmicamente concavo; ciò significa che le densità congiunte ottenute moltiplicando due densità di probabilità (ad esempio la normal-gamma distribution, che ha sempre un parametro di forma >= 1) saranno logaritmicamente concave. Questa proprietà è molto usata nei programmi per i general-purpose basati sul campionamento di Gibbs, quali BUGS e JAGS, che, in tal modo, sono in grado di utilizzare adaptive rejection sampling su una grande varietà di distribuzioni condizionate derivanti dal prodotto di altre distribuzioni.

Note

1. Stephen Boyd and Lieven Vandenberghe, Convex Optimization (PDF) p.105
2. See Mark Bagnoli and Ted Bergstrom (1989), "Log-Concave Probability and Its Applications", University of Michigan.[1]
3. András Prékopa (1971), "Logarithmic concave measures with application to stochastic programming". Acta Scientiarum Mathematicarum, 32, pp. 301–316.

Bibliografia

• Ole Barndorff-Nielsen, Information and exponential families in statistical theory, Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics, Chichester, John Wiley \& Sons, Ltd., 1978, pp. ix+238 pp., ISBN 0-471-99545-2, MR 489333.
• Sudhakar Dharmadhikari e Kumar Joag-Dev, Unimodality, convexity, and applications, Probability and Mathematical Statistics, Boston, MA, Academic Press, Inc., 1988, pp. xiv+278, ISBN 0-12-214690-5, MR 954608.

• Johann Pfanzagl e with the assistance of R. Hamböker, Parametric Statistical Theory, Walter de Gruyter, 1994, ISBN 3-11-013863-8, MR 1291393.

• Josip E. Pečarić, Frank Proschan e Y. L. Tong, Convex functions, partial orderings, and statistical applications, Mathematics in Science and Engineering, vol. 187, Boston, MA, Academic Press, Inc., 1992, pp. xiv+467 pp., ISBN 0-12-549250-2, MR 1162312.

Voci correlate

• Ennupla logaritmicamente concava
• Misura logaritmicamente concava
• Funzione concava
• Logaritmo
• Funzione convessa
• Funzione logaritmicamente convessa

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