Funzione logaritmicamente convessa

In matematica, una funzione f è logaritmicamente convessa o superconvessa^[1] se ${\displaystyle {\log }\circ f}$, ossia la composizione della funzione logaritmo con f, è una funzione convessa.

Definizione

Sia ${\displaystyle X}$ un sottoinsieme convesso di uno spazio vettoriale reale e sia ${\displaystyle f\colon X\rightarrow \mathbb {R} }$ una funzione che assume valori positivi. Allora ${\displaystyle f}$ è:

• logaritmicamente convessa se ${\displaystyle \log \circ f}$ è convessa;
• logaritmicamente convessa strettamente se ${\displaystyle \log \circ f}$ è strettamente convessa.

La funzione costantemente nulla è logaritmicamente convessa per definizione.

Esplicitamente, ${\displaystyle f}$ è logaritmicamente convessa se e solo se, per ogni ${\displaystyle x_{1},x_{2}\in X}$ e per ogni ${\displaystyle t\in [0,1]}$, vale la seguente condizione:

${\displaystyle f(tx_{1}+(1-t)x_{2})\leq f(x_{1})^{t}f(x_{2})^{1-t}.}$

Allo stesso modo, ${\displaystyle f}$ è logaritmicamente convessa strettamente se e solo se nell'espressione scritta sopra vale la disuguaglianza stretta per ogni ${\displaystyle t\in (0,1)}$.

Se ${\displaystyle f\not \equiv 0}$, allora la precedente disuguaglianza, per ogni ${\displaystyle x_{1},x_{2}\in X}$ e per ogni ${\displaystyle t\in [0,1]}$, equivale a:

${\displaystyle \log f(tx_{1}+(1-t)x_{2})\leq t\log f(x_{1})+(1-t)\log f(x_{2}).}$

E, allo stesso modo, ${\displaystyle f\not \equiv 0}$ è logaritmicamente convessa strettamente se e solo se nell'espressione scritta sopra vale la disuguaglianza stretta per ogni ${\displaystyle t\in (0,1)}$.

Condizioni equivalenti

Se ${\displaystyle f\not \equiv 0}$ è una funzione differenziabile definita su un intervallo ${\displaystyle I\subseteq \mathbb {R} }$, allora ${\displaystyle f}$ è logaritmicamente convessa se e solo se vale la seguente condizione per ogni ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$ in ${\displaystyle I}$:

${\displaystyle \log f(x)\geq \log f(y)+{\frac {f'(y)}{f(y)}}(x-y).}$

Ciò è equivalente alla condizione secondo la quale ogni volta che ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$ sono in ${\displaystyle I}$ e ${\displaystyle x>y}$,

${\displaystyle \left({\frac {f(x)}{f(y)}}\right)^{\frac {1}{x-y}}\geq \exp \left({\frac {f'(y)}{f(y)}}\right).}$

Inoltre, ${\displaystyle f\not \equiv 0}$ è logaritmicamente convessa strettamente se e solo se queste disuguaglianze sono sempre strette.

Se ${\displaystyle f}$ è due volte differenziabile, allora è logaritmicamente convessa se e solo se, per ogni ${\displaystyle x}$ in ${\displaystyle I}$,

${\displaystyle f''(x)f(x)\geq f'(x)^{2}.}$

Se la disuguaglianza è sempre stretta, allora ${\displaystyle f}$ è logaritmicamente convessa strettamente. Tuttavia, il viceversa è falso: è possibile che ${\displaystyle f}$ sia logritmicamente convessa strettamente e che, per qualche ${\displaystyle x}$, si abbia ${\displaystyle f''(x)f(x)=f'(x)^{2}}$. Per esempio, se ${\displaystyle f(x)=\exp(x^{4})}$, allora ${\displaystyle f}$ è logaritmicamente convessa strettamente, ma ${\displaystyle f''(0)f(0)=0=f'(0)^{2}}$.

Inoltre, ${\displaystyle f\colon I\to (0,+\infty )}$ è logaritmicamente convessa se e solo se ${\displaystyle e^{\alpha x}f(x)}$ è convessa per ogni ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }$.^[2][3]

Condizioni sufficienti

Se ${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{n}}$ sono logaritmicamente convesse e se ${\displaystyle w_{1},\ldots ,w_{n}}$ sono numeri reali non negativi, allora ${\displaystyle f_{1}^{w_{1}}\cdots f_{n}^{w_{n}}}$ sono logaritmicamente convesse.

Se ${\displaystyle \{f_{i}\}_{i\in I}}$ è una qualsiasi famiglia di funzioni logaritmicamente convesse, allora ${\displaystyle g=\sup _{i\in I}f_{i}}$ è logaritmicamente convessa.

Se ${\displaystyle f\colon X\to I\subseteq \mathbb {R} }$ è convessa e ${\displaystyle g\colon I\to (0,+\infty )}$ è logaritmicamente convessa e non decrescente, allora ${\displaystyle g\circ f}$ è logaritmicamente convessa.

Proprietà

Una funzione logaritmicamente convessa ${\displaystyle f}$ è una funzione convessa poiché è la funzione composta della funzione convessa crescente ${\displaystyle \exp }$ e della funzione ${\displaystyle \log \circ f}$, che è convessa per definizione. Tuttavia, l'essere logaritmicamente convessa è una proprietà più forte dell'essere convessa: per esempio, la funzione quadrato ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ è convessa, ma il suo logaritmo ${\displaystyle \log f(x)=2\log |x|}$ non lo è. Pertanto, la funzione quadrato non è logaritmicamente convessa.

Esempi

• ${\displaystyle f(x)=\exp(|x|^{p})}$ è logaritmicamente convessa se ${\displaystyle p\geq 1}$ e logaritmicamente convessa strettamente se ${\displaystyle p>1}$.
• ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x^{p}}}}$ è logaritmicamente convessa strettamente su ${\displaystyle (0,\infty )}$ per ogni ${\displaystyle p>0.}$
• La funzione gamma di Eulero è logaritmicamente convessa strettamente se viene ristretta ai numeri reali positivi. Infatti, mediante il teorema di Bohr-Mollerup, questa proprietà può essere utilizzata per caratterizzare la funzione gamma di Eulero tra le possibili estensioni della funzione fattoriale agli argomenti reali.

Note

1. Kingman, J.F.C. 1961. A convexity property of positive matrices. Quart. J. Math. Oxford (2) 12,283-284.
2. Montel 1928.
3. NiculescuPersson 2006, p. 70.

Bibliografia

• John B. Conway. Functions of One Complex Variable I, second edition. Springer-Verlag, 1995. Template:Isbn.
• "Convexity, logarithmic", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• (EN) Constantin Niculescu e Lars-Erik Persson, Convex Functions and their Applications - A Contemporary Approach, 1st, Springer, 2006, DOI:10.1007/0-387-31077-0, ISBN 978-0-387-24300-9, ISSN 1613-5237 (WC · ACNP)..
• (FR) Paul Montel, Sur les fonctions convexes et les fonctions sousharmoniques, in Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, vol. 7, 1928, pp. 29-60..
• Stephen Boyd and Lieven Vandenberghe. Convex Optimization. Cambridge University Press, 2004. ISBN 9780521833783.

Voci correlate

• Funzione convessa
• Logaritmo
• Teorema di Bohr-Mollerup
• Funzione logaritmicamente concava

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