Funzione polidroma

Questa corrispondenza è una funzione polidroma poiché 3 viene mandato sia in b che in c

In matematica, una funzione polidroma (o funzione multivoca o multifunzione) è una relazione simile per alcuni aspetti a una funzione (in cui a ogni elemento del dominio è associato esattamente un elemento del codominio) ma che a differenza di quest'ultima può avere più valori, cioè a ogni elemento del dominio è associato almeno un elemento del codominio. Le funzioni polidrome sono usate soprattutto in analisi complessa.

Definizione

Siano ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$ due insiemi. Una funzione polidroma da ${\displaystyle X}$ in ${\displaystyle Y}$ è una funzione

${\displaystyle f\colon X\to P(Y),}$

che associa ad ogni elemento di ${\displaystyle X}$ un sottoinsieme non vuoto di ${\displaystyle Y}$ (qui ${\displaystyle P(Y)}$ è l'insieme delle parti di ${\displaystyle Y}$).

Una definizione equivalente vede una funzione polidroma come un sottoinsieme ${\displaystyle R}$ del prodotto cartesiano ${\displaystyle X\times Y}$ tale che per ogni ${\displaystyle x}$ in ${\displaystyle X}$ esiste almeno un ${\displaystyle y}$ in ${\displaystyle Y}$ per cui ${\displaystyle (x,y)\in R}$ (cioè una relazione binaria tra ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$ "totale a sinistra").

Nel contesto delle funzioni polidrome, una funzione nel senso usuale del termine viene detta monodroma. In questo caso, ${\displaystyle f(x)}$ è formato da un elemento solo per ogni ${\displaystyle x}$. Utilizzando l'insieme delle parti viene infatti aggirato il problema di avere per ogni input una e una sola immagine, associando all'elemento di partenza un intero insieme, che è un unico elemento se considerato all'interno dell'insieme delle parti del codominio.

Differenza con le funzioni a valori vettoriali

È bene sottolineare la differenza tra funzioni polidrome e funzioni vettoriali, cioè a valori nel prodotto cartesiano di ${\displaystyle n}$ copie di ${\displaystyle Y}$, distinguendo due differenze fondamentali:

• una funzione vettoriale ha immagini con un numero di componenti sempre fisso a ${\displaystyle n}$ poiché sono vettori di ${\displaystyle Y^{n}}$; al contrario, una funzione polidroma ha valori di cardinalità variabile, poiché sono sottoinsiemi arbitrari di ${\displaystyle Y}$.
• una funzione vettoriale ha come immagini ennuple ordinate, mentre le funzioni polidrome danno come immagini degli insiemi, che notoriamente sono indipendenti dall'ordine in cui si enumerano i suoi elementi.

Analisi complessa

Radice ennesima

Lo stesso argomento in dettaglio: Radice dell'unità.

La più semplice e immediata funzione polidroma è la radice ennesima di una variabile complessa:

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{z}},\quad n\in \mathbb {Z} ,}$

intesa come inversa della funzione monodroma ${\displaystyle z^{n}}$. Usando la rappresentazione polare ${\displaystyle z=\rho e^{i\theta }}$ e ricordando che ogni numero complesso espresso in forma polare deve riportare l'intervallo di definizione dell'argomento ${\displaystyle 0\leq \theta <2\pi }$ affinché il numero sia ben definito abbiamo:

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{z}}={\sqrt[{n}]{\rho }}\cdot {\sqrt[{n}]{e^{i\theta +i2k\pi }}}={\sqrt[{n}]{\rho }}\left(e^{\frac {i\theta +i2k\pi }{n}}\right).}$

Si vede chiaramente che ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{\rho }}}$ è ben definito (ovviamente ${\displaystyle \rho \geq 0}$), ma al contrario l'argomento della funzione radice ennesima:

${\displaystyle \arg({\sqrt[{n}]{z}})={\frac {\theta +2k\pi }{n}},}$

è chiaramente non definitivamente determinato. Questo implica che anche se ${\displaystyle z^{n}}$ è univocamente determinato dalla determinazione principale del suo argomento, la sua inversa non è univocamente determinata, di conseguenza si avranno ${\displaystyle n}$ valori, in corrispondenza degli ${\displaystyle n}$ valori dell'argomento di ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{z}}}$. Per ritornare allo stesso punto bisogna dunque eseguire ${\displaystyle n}$ giri intorno all'origine. Da notare che la funzione resta monodroma se restringiamo l'intervallo di definizione dell'argomento ad un settore tra ${\displaystyle n}$ ed ${\displaystyle n+1}$.

Logaritmo

Lo stesso argomento in dettaglio: Logaritmo complesso.

Consideriamo un'altra tipica funzione polidroma che è anche discontinua su tutta una semiretta uscente dall'origine come:

${\displaystyle \operatorname {Log} z=\log |z|+i\theta +i2k\pi }$

cioè la branca principale del logaritmo, dove ${\displaystyle \theta }$ è la fase per ${\displaystyle 0<\theta <2\pi }$ che assume gli infiniti valori: ${\displaystyle \log z=\operatorname {Log} z+n\cdot 2\pi i}$. Ovviamente questo discorso vale anche per il logaritmo naturale e il logaritmo su qualsiasi base.

A partire dal logaritmo si può definire anche in campo l'esponenziazione a qualsiasi base come la funzione polidroma

${\displaystyle z^{\alpha }=e^{\alpha \ln z}}$

Argomento

L'ultima funzione polidroma che analizziamo è l'argomento di un numero complesso, definito come

${\displaystyle \arg(z)=\left\{y\in \mathbb {R} :e^{iy}={\frac {z}{|z|}}\right\},}$

per ogni numero complesso non nullo ${\displaystyle z}$. Ricordiamo che questa definizione ha senso poiché l'esponenziale complesso ristretto ai numeri puramente immaginari, cioè del tipo ${\displaystyle i\cdot y}$, assume valori nella sfera unitaria ${\displaystyle S^{1}}$.

Sempre dalle proprietà dell'esponenziale si ricava che risulta, se ${\displaystyle y_{0}}$ è un particolare valore dell'argomento di ${\displaystyle z}$,

${\displaystyle \arg(z)=\{y_{0}+2k\pi ,k\in \mathbb {Z} \}.}$

Altre caratteristiche della polidromia

Caratteristica di molte funzioni polidrome è l'esistenza di punti di singolarità non isolate che sono detti punti di diramazione di ordine ${\displaystyle n}$, se compiendo ${\displaystyle n+1}$ giri nello stesso verso, la funzione assume sempre lo stesso valore iniziale; si dice invece un punto di diramazione di ordine infinito, se per quante volte si giri intorno al punto singolare la funzione non torna mai ad assumere lo stesso valore iniziale. A parte i due punti di diramazione in zero e all'infinito la funzione logaritmo è analitica. Ciò significa che si può sviluppare in serie di Taylor entro un cerchio di convergenza di centro ${\displaystyle z_{0}}$ di raggio ${\displaystyle |z_{0}|}$:

${\displaystyle \log z=\log z_{0}+\sum _{n=1}^{+\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}\left({\frac {z-z_{0}}{z_{0}}}\right)^{n}.}$

Funzioni polidrome reali

Tipiche e molto usate funzioni polidrome a valori reali sono le inverse delle funzioni trigonometriche: esse sono periodiche, quindi similmente al logaritmo complesso, le loro inverse assumono una quantità numerabile di valori.

Rami e valori principali

Tutti questi esempi condividono una proprietà comune: essi possono essere visti come funzioni inverse di qualche altra applicazione (la potenza per le radici, l'esponenziale per il logaritmo). Infatti la funzione inversa è la multifunzione più facile da incontrare, poiché a priori la corrispondenza ${\displaystyle y\mapsto f^{-1}(y)}$ non genera un elemento, ma un insieme: esso è vuoto se ${\displaystyle y}$ non è parte dell'immagine di ${\displaystyle f}$, è un singleton per i valori in cui essa è iniettiva, è un insieme con più elementi altrimenti.

In ognuno di questi casi, per giungere da una funzione multivoca ad una monodroma e utilizzare gli strumenti usuali della matematica, si è scelta per convenzione (o per altri motivi) una singola controimmagine da associare a ${\displaystyle y}$: nel caso della radice reale, la scelta cade su ${\displaystyle +{\sqrt {x}}}$; nel logaritmo complesso viene scelto il valore ${\displaystyle \log z}$ tale che ${\displaystyle 0<\arg(z)<2\pi }$; nell'arcoseno l'angolo scelto è sempre quello compreso tra ${\displaystyle -\pi /2}$ e ${\displaystyle \pi /2}$ e così via.

Ognuna delle funzioni monodrome che si potrebbero definire al variare della scelta all'interno dell'insieme ${\displaystyle f^{-1}(y)}$ viene detto ramo dell'inversa; il valore effettivamente scelto dalla convenzione si dice il ramo principale e il valore che esso assume valore principale. Ad esempio, sempre per il seno: i rami di ${\displaystyle f^{-1}(y)}$ sono ${\displaystyle x=\arcsin y}$, ${\displaystyle x=\arcsin y+2\pi }$, ${\displaystyle x=\arcsin y+4\pi }$, eccetera, e il valore principale di ${\displaystyle f^{-1}(1)}$ è ${\displaystyle \pi /2}$, mentre gli altri suoi valori non principali sono ${\displaystyle {5\pi \over 2},{9\pi \over 2},{13\pi \over 2},\dots }$.

Esistono teoremi che assicurano, a seconda delle varie geometrie del dominio, la continuità di tali rami e la relazione tra essi: si verifica ad esempio che l'esistenza di un ramo continuo dell'argomento è condizione necessaria e sufficiente all'esistenza di un ramo continuo del logaritmo.

Voci correlate

• Analisi complessa
• Funzione di variabile complessa
• Serie complessa
• Superficie di Riemann
• Relazione (matematica)
• Funzione (matematica)
• Funzione inversa

Collegamenti esterni

• Funzione polidroma, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
• (EN) Eric W. Weisstein, Multivalued Function, su MathWorld, Wolfram Research.

Controllo di autorità	GND (DE) 4270772-9

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