Una curva è una funzione continua, dove è un intervallo dei numeri reali. Se , con , si dice punto iniziale e punto finale, mentre la variabile in questo intervallo in genere si denota con la lettera e per la funzione si usa la notazione . Per sostegno di si intende l'immagine di tale funzione .
Si supponga che sia una funzione differenziabile sufficientemente regolare, ovvero una funzione che abbia derivate continue di un ordine sufficientemente alto; inoltre si chiede che la sua derivata prima sia un vettore mai nullo su tutto l'intervallo .
Una riparametrizzazione di è un'altra curva tale che:
dove è una biiezione differenziabile con derivata sempre positiva (e quindi crescente) e è un intervallo dei reali che potrebbe coincidere con . In questo caso le curve e , benché descritte con parametrizzazioni diverse, sono intese come equivalenti.
La lunghezza di una curva definita su un intervallo chiuso è fornita da:
La lunghezza di una curva non cambia se essa viene riparametrizzata. Inoltre è possibile definire l'ascissa curvilinea come:
Si consideri che l'intervallo di definizione della curva sia della forma e che un corpo puntiforme percorra la curva mentre la variabile tempo varia nell'intervallo temporale da 0 a ; si ha quindi un modello cinematico della curva. La lunghezza della curva percorsa dal corpuscolo dall'istante 0 all'istante è:
La funzione sempre crescente stabilisce una biiezione tra gli intervalli e e porta a una riparametrizzazione della curva. Scrivendo:
si ottiene la cosiddetta parametrizzazione secondo la lunghezza d'arco della curva. Questa parametrizzazione, in termini cinematici, si legge come il moto di un corpo puntiforme che percorre la curva con velocità costante uguale a :
Questa parametrizzazione della curva è l'unica che presenta la velocità costantemente uguale a . Benché sia spesso difficile da calcolare, essa è utile per dimostrare agevolmente alcuni teoremi.
Nel piano, il primo vettore di Frenet è il versore tangente alla curva al valore del parametro, mentre il vettore , detto versore normale è il vettore normale a e punta verso il centro della circonferenza (ha la stessa direzione del raggio).
Il cerchio osculatore è il cerchio tangente a e di raggio . Il cerchio osculatore approssima la curva intorno al valore del parametro "fino al secondo ordine": ha cioè le stesse derivate prima e seconda di nel punto. La curvatura:
indica lo spostamento della curva dalla linea retta tangente. Il reciproco, corrispondente al raggio del cerchio osculatore in , è chiamato raggio di curvatura:
Ad esempio, una circonferenza di raggio ha curvatura costante , mentre una linea retta ha curvatura nulla.
Nello spazio tridimensionale, i vettori di Frenet prendono il nome di terna intrinseca, mentre le curvature generalizzate sono dette curvatura e torsione.
Le formule di Frenet-Serret sono delle equazioni differenziali ordinarie del I ordine, la cui soluzione è il sistema di Frenet che descrive la curva. I coefficienti dell'equazione differenziale sono dati dalle curvature generalizzate .
In geometria differenziale delle curve, la velocità angolare e la velocità areolare sono la velocità con cui il raggio vettore di un punto che si muove lungo una curva spazza, rispettivamente, un angolo e una superficie. I due vettori risultano paralleli e hanno lo stesso verso del vettore binormale.
(EN) Erwin Kreyszig, Differential Geometry, Dover Publications, New York, 1991, ISBN 0-486-66721-9. Chapter II is a classical treatment of Theory of Curves in 3-dimensions.