Grande icosidodecaedro camuso invertito

Grande icosidodecaedro camuso invertito
Tipo	Poliedro stellato uniforme
Forma facce	20+60 triangoli 12 pentagrammi
Nº facce	92
Nº spigoli	150
Nº vertici	60
Caratteristica di Eulero	2
Incidenza dei vertici	3^4.^5/3
Notazione di Wythoff	| ^5/3 2 3
Diagramma di Coxeter-Dynkin
Gruppo di simmetria	I, [5,3]^+, 532
Duale	Grande esacontaedro pentagonale invertito
Proprietà	Non convessità
Politopi correlati
Figura al vertice Poliedro duale

In geometria, il grande icosidodecaedro camuso invertito è un poliedro stellato uniforme avente 92 facce - 80 triangolari e 12 a forma di pentagramma - 150 spigoli e 60 vertici.^[1]

Coordinate cartesiane

Le coordinate cartesiane per i vertici del grande icosidodecaedro camuso invertito, spesso indicato con il simbolo U₆₉ e il cui inviluppo convesso è un dodecaedro camuso non uniforme, sono date da tutte le permutazioni pari di:

${\displaystyle \left(\,\pm 2\alpha ,\,\pm 2,\,\pm 2\beta \,\right)}$

${\displaystyle \left(\,\pm (\alpha -\beta \varphi -\varphi ^{-1}),\,\pm (\alpha \varphi ^{-1}+\beta -\varphi ),\,\pm (-\alpha \varphi -\beta \varphi ^{-1}-1)\,\right)}$

${\displaystyle \left(\,\pm (\alpha \varphi -\beta \varphi ^{-1}+1),\,\pm (-\alpha -\beta \varphi +\varphi ^{-1}),\,\pm (-\alpha \varphi ^{-1}+\beta +\varphi )\,\right)}$

${\displaystyle \left(\,\pm (\alpha \varphi -\beta \varphi ^{-1}-1),\,\pm (\alpha +\beta \varphi +\varphi ^{-1}),\,\pm (-\alpha \varphi ^{-1}+\beta -\varphi )\,\right)}$

${\displaystyle \left(\,\pm (\alpha -\beta \varphi +\varphi ^{-1}),\,\pm (-\alpha \varphi ^{-1}-\beta -\varphi ),\,\pm (-\alpha \varphi -\beta \varphi ^{-1}+1)\,\right)}$

con un numero pari di segni più, dove ${\displaystyle \varphi ={\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$ è la sezione aurea, ${\displaystyle \xi \approx 1,2224727}$ è la più grande radice reale positiva dell'equazione ${\displaystyle \xi ^{3}-2\xi =-{\frac {1}{\varphi }}}$ e

$${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &=\xi -{\frac {1}{\xi }},\\[4pt]\beta &=-{\frac {\xi }{\varphi }}+{\frac {1}{\varphi ^{2}}}-{\frac {1}{\xi \varphi }}.\end{aligned}}}$$

Poliedri correlati

Dato un grande icosidodecaedro camuso invertito di spigolo pari a 1, il suo circumraggio è pari a $${\displaystyle R={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {2-x}{1-x}}}=0,816081\dots }$$ dove ${\displaystyle x}$ è la soluzione dell'equazione

$${\displaystyle x^{3}+2x^{2}=\left({\frac {1\pm {\sqrt {5}}}{2}}\right)^{2}.}$$

Le quattro radici positive dell'equazione in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$, $${\displaystyle 4096R^{12}-27648R^{10}+47104R^{8}-35776R^{6}+13872R^{4}-2696R^{2}+209=0}$$ sono, in ordine, i circumraggi del grande icosidodecaedro retrocamuso (U₇₄), del grande icosidodecaedro camuso (U₅₇), del grande icosidodecaedro camuso invertito (U₆₉) e del dodecaedro camuso (U₂₉).

Grande esacontaedro pentagonale invertito

Grande esacontaedro pentagonale invertito
Tipo	Poliedro stellato
Forma facce	Pentagoni irregolari concavi
Nº facce	60
Nº spigoli	150
Nº vertici	92
Caratteristica di Eulero	2
Gruppo di simmetria	I, [5,3]^+, 532
Duale	Grande icosidodecaedro camuso invertito

Il grande esacontaedro pentagonale invertito è un poliedro stellato isoedro, nonché il duale del grande icosidodecaedro camuso invertito, avente per facce 60 pentagoni irregolari concavi.^[2]

Dato un grande icosidodecaedro camuso invertito di spigolo pari a 1, immaginando il grande esacontaedro pentagonale invertito come composto da 60 facce intersecanti a forma di pentagono irregolare concavo, come riportato nella figura sottostante, di cui solo una parte visibile all'esterno del solido, e considerando la già citata sezione aurea e il numero ${\displaystyle \xi \approx 0,252\,780\,289\,27}$ - la più piccola radice positiva del polinomio ${\displaystyle P=8x^{3}-8x^{2}+\phi ^{-2}}$ - ogni faccia risulta avere quattro angoli uguali di ampiezza pari a ${\displaystyle \arccos(\xi )\approx 75,357\,903\,417\,42^{\circ }}$ e un angolo di ampiezza pari a ${\displaystyle 360^{\circ }-\arccos(-\phi ^{-1}+\phi ^{-2}\xi )\approx 238,568\,386\,330\,33^{\circ }}$, con tre lati lunghi e due corti le cui lunghezze stanno in un rapporto pari a ${\displaystyle {\frac {2-4\xi ^{2}}{1-2\xi }}\approx 3,528\,053\,034\,81}$

Note

1. Roman Maeder, 69: great snub inverted icosidodecahedron, su Mathconsult. URL consultato il 24 marzo 2024.
2. Magnus J. Wenninger, Dual Models, Cambridge University Press, 2004, pp. 126. URL consultato il 20 marzo 2024.

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Grande esacontaedro pentagonale invertito, in MathWorld, Wolfram Research. URL consultato il 20 marzo 2024.

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