Grande icosidodecaedro retrocamuso

Grande icosidodecaedro retrocamuso
Tipo	Poliedro stellato uniforme
Forma facce	20+60 triangoli 12 pentagrammi
Nº facce	92
Nº spigoli	150
Nº vertici	60
Caratteristica di Eulero	2
Incidenza dei vertici	(3^4.^5/2)/2
Notazione di Wythoff	| 2 ^3/2 ^5/2
Diagramma di Coxeter-Dynkin
Gruppo di simmetria	I, [5,3]^+, 532
Duale	Grande esacontaedro pentagrammico
Proprietà	Non convessità
Politopi correlati
Figura al vertice Poliedro duale

In geometria, il grande icosidodecaedro retrocamuso è un poliedro stellato uniforme avente 92 facce - 80 triangolari e 12 a forma di pentagramma - 150 spigoli e 60 vertici.^[1]

Coordinate cartesiane

Le coordinate cartesiane per i vertici del grande icosidodecaedro retrocamuso, spesso indicato con il simbolo U₇₄ e il cui inviluppo convesso è un dodecaedro camuso non uniforme, sono date da tutte le permutazioni pari di:

${\displaystyle \left(\,\pm 2\alpha ,\,\pm 2,\,\pm 2\beta \,\right)}$

${\displaystyle \left(\,\pm (\alpha -\beta \varphi -\varphi ^{-1}),\,\pm (\alpha \varphi ^{-1}+\beta -\varphi ),\,\pm (-\alpha \varphi -\beta \varphi ^{-1}-1)\,\right)}$

${\displaystyle \left(\,\pm (\alpha \varphi -\beta \varphi ^{-1}+1),\,\pm (-\alpha -\beta \varphi +\varphi ^{-1}),\,\pm (-\alpha \varphi ^{-1}+\beta +\varphi )\,\right)}$

${\displaystyle \left(\,\pm (\alpha \varphi -\beta \varphi ^{-1}-1),\,\pm (\alpha +\beta \varphi +\varphi ^{-1}),\,\pm (-\alpha \varphi ^{-1}+\beta -\varphi )\,\right)}$

${\displaystyle \left(\,\pm (\alpha -\beta \varphi +\varphi ^{-1}),\,\pm (-\alpha \varphi ^{-1}-\beta -\varphi ),\,\pm (-\alpha \varphi -\beta \varphi ^{-1}+1)\,\right)}$

con un numero pari di segni più, dove ${\displaystyle \varphi ={\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$ è la sezione aurea, ${\displaystyle \xi \approx 0,3264046}$ è la più piccola radice positiva dell'equazione $${\displaystyle {\begin{aligned}\xi ^{3}-2\xi =-{\frac {1}{\varphi }}\quad \implies \quad \xi &={\frac {\left(1+i{\sqrt {3}}\right){\sqrt[{3}]{{\frac {1}{2\varphi }}+{\sqrt {{\frac {1}{4\varphi ^{2}}}-{\frac {8}{27}}}}}}+\left(1-i{\sqrt {3}}\right){\sqrt[{3}]{{\frac {1}{2\varphi }}-{\sqrt {{\frac {1}{4\varphi ^{2}}}-{\frac {8}{27}}}}}}}{2}}\\[4pt]\end{aligned}}}$$

e

$${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &=\xi -{\frac {1}{\xi }},\\[4pt]\beta &=-{\frac {\xi }{\varphi }}+{\frac {1}{\varphi ^{2}}}-{\frac {1}{\xi \varphi }}.\end{aligned}}}$$

Poliedri correlati

Dato un grande icosidodecaedro retrocamuso di spigolo pari a 1, il suo circumraggio è pari a $${\displaystyle R={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {2-x}{1-x}}}=0,580002\dots }$$ dove ${\displaystyle x}$ è la radice dell'equazione

${\displaystyle x^{3}+2x^{2}={\Big (}{\tfrac {1\pm {\sqrt {5}}}{2}}{\Big )}^{2}.}$

Le quattro radici positive dell'equazione in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$, $${\displaystyle 4096R^{12}-27648R^{10}+47104R^{8}-35776R^{6}+13872R^{4}-2696R^{2}+209=0}$$ sono, in ordine, i circumraggi del grande icosidodecaedro retrocamuso (U₇₄), del grande icosidodecaedro camuso (U₅₇), del grande icosidodecaedro camuso invertito (U₆₉) e del dodecaedro camuso (U₂₉).

Grande esacontaedro pentagrammico

Grande esacontaedro pentagrammico
Tipo	Poliedro stellato
Forma facce	Pentagrammi irregolari
Nº facce	60
Nº spigoli	150
Nº vertici	92
Caratteristica di Eulero	2
Gruppo di simmetria	I, [5,3]^+, 532
Duale	Grande icosidodecaedro retrocamuso

Il grande esacontaedro pentagrammico è un poliedro stellato isoedro, nonché il duale del grande icosidodecaedro retrocamuso, avente per facce 60 pentagrammi irregolari.^[2]

Dato un grande icosidodecaedro retrocamuso di spigolo pari a 1, immaginando il grande esacontaedro pentagrammico come composto da 60 facce intersecanti a forma di pentagramma irregolare, come riportato nella figura sottostante, di cui solo una parte visibile all'esterno del solido, e considerando la già citata sezione aurea e il numero ${\displaystyle \xi \approx 0,946\,730\,033\,56}$ - maggior radice positiva del polinomio ${\displaystyle P=8x^{3}-8x^{2}+\phi ^{-2}}$ - ogni faccia risulta avere quattro angoli uguali di ampiezza pari a ${\displaystyle \arccos(\xi )\approx 18,785\,633\,958\,24^{\circ }}$ e uno angolo di ampiezza pari a ${\displaystyle \arccos(-\phi ^{-1}+\phi ^{-2}\xi )\approx 104,857\,464\,167\,03^{\circ }}$, con tre lati lunghi e due corti le cui lunghezze stanno in un rapporto pari a ${\displaystyle {\frac {2-4\xi ^{2}}{1-2\xi }}\approx 1,774\,215\,864\,94}$

Note

1. Roman Maeder, 74: great retrosnub icosidodecahedron, su Mathconsult. URL consultato il 24 marzo 2024.
2. Magnus J. Wenninger, Dual Models, Cambridge University Press, 2004, pp. 128. URL consultato il 20 marzo 2024.

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Grande icosidodecaedro retrocamuso, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Eric W. Weisstein, Grande esacontaedro pentagrammico, in MathWorld, Wolfram Research. URL consultato il 20 marzo 2024.

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