Grassmanniana

Tre piani distinti nello spazio, tutti passanti per l'origine. Ciascuno di questi piani è un punto nella grassmanniana.

In matematica, la grassmanniana di uno spazio vettoriale ${\displaystyle V}$ è l'insieme di tutti i suoi sottospazi aventi dimensione fissata ${\displaystyle k}$. Questo insieme è indicato generalmente con il simbolo

${\displaystyle \operatorname {Gr} _{k}(V).}$

Per ${\displaystyle k=1}$ la grassmanniana è l'insieme delle rette in ${\displaystyle V}$, ovvero lo spazio proiettivo

${\displaystyle \operatorname {Gr} _{1}(V)=\mathbb {P} (V).}$

Il nome è legato al matematico tedesco Hermann Grassmann.

Esempi

Se ${\displaystyle V}$ è lo spazio euclideo ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ (ad esempio il piano cartesiano ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ oppure lo spazio tridimensionale ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$) la grassmanniana è l'insieme dei sottospazi di dimensione ${\displaystyle k}$ dello spazio.

Ad esempio,

${\displaystyle \operatorname {Gr} _{1}(\mathbb {R} ^{2})}$

è l'insieme di tutte le rette nel piano passanti per l'origine, mentre

${\displaystyle \operatorname {Gr} _{1}(\mathbb {R} ^{3})}$

è l'insieme di tutte le rette nello spazio passanti per l'origine. Inoltre

${\displaystyle \operatorname {Gr} _{2}(\mathbb {R} ^{3})}$

è l'insieme di tutti i piani nello spazio passanti per l'origine. Poiché ogni piano è ortogonale nello spazio ad un'unica retta (sempre passante per ${\displaystyle O}$), c'è una naturale funzione biunivoca

${\displaystyle f\colon \operatorname {Gr} _{1}(\mathbb {R} ^{3})\to \operatorname {Gr} _{2}(\mathbb {R} ^{3})}$

tra le due grassmanniane.

La grassmanniana più semplice che non sia isomorfa ad uno spazio proiettivo è l'insieme dei piani in uno spazio quadridimensionale:

${\displaystyle \operatorname {Gr} _{2}(\mathbb {R} ^{4}).}$

Proprietà

Dimensioni

Se ${\displaystyle V}$ è uno spazio di dimensione ${\displaystyle n}$ finita su cui è definito un prodotto scalare non degenere, è possibile associare ad ogni sottospazio ${\displaystyle k}$-dimensionale ${\displaystyle W}$ il suo ortogonale ${\displaystyle W^{\perp }}$, avente dimensione ${\displaystyle n-k}$. In questo modo il prodotto scalare definisce un isomorfismo fra le grassmanniane di dimensione complementare:

${\displaystyle \operatorname {Gr} _{k}(V)\cong \operatorname {Gr} _{n-k}(V).}$

L'isomorfismo dipende dal prodotto scalare scelto.

Spazio proiettivo

La grassmanniana rappresenta i sottospazi vettoriali di dimensione ${\displaystyle k}$ di ${\displaystyle V}$. Poiché tali sottospazi sono in naturale corrispondenza biunivoca con i sottospazi proiettivi ${\displaystyle (k-1)}$-dimensionali di ${\displaystyle \mathbb {P} (V)}$, la grassmanniana rappresenta anche i sottospazi proiettivi di uno spazio proiettivo.

La grassmanniana non rappresenta però i sottospazi affini.

Spazio omogeneo

La grassmanniana può essere definita nel modo seguente con gli strumenti dell'algebra. Il gruppo generale lineare ${\displaystyle GL(V)}$ agisce sui ${\displaystyle k}$-sottospazi vettoriali di ${\displaystyle V}$ in modo transitivo. Sia ${\displaystyle H}$ lo stabilizzatore di un sottospazio (è un sottogruppo di ${\displaystyle GL(V)}$). Si può quindi scrivere

${\displaystyle \operatorname {Gr} _{k}=\operatorname {GL} (V)/H.}$

Con questa definizione la grassmanniana risulta essere dotata automaticamente di alcune strutture aggiuntive. Se lo spazio vettoriale è reale o complesso, il gruppo ${\displaystyle GL(V)}$ è un gruppo di Lie e la grassmanniana è conseguentemente una varietà differenziabile. In particolare, è uno spazio topologico: la topologia concretizza le nozioni di "vicinanza" e "lontananza" fra sottopazi e di "movimento continuo" di sottospazi.

Dalla definizione segue anche che la grassmanniana è uno spazio omogeneo: i suoi punti (cioè i sottospazi) sono moralmente indistinguibili.

Spazio compatto

La compattezza della grassmanniana è un fenomeno caratteristico della geometria degli spazi vettoriali e proiettivi. Non è presente in geometria affine, dove è possibile trovare una successione di piani paralleli sempre più lontani (e quindi non convergenti).

Nel caso in cui ${\displaystyle V}$ sia reale o complesso, la grassmanniana è uno spazio topologico. Se ${\displaystyle V}$ ha dimensione finita, la grassmanniana risulta essere uno spazio compatto.

Effettivamente, dopo aver scelto un prodotto scalare per ${\displaystyle V}$ è possibile sostituire il gruppo generale lineare ${\displaystyle GL(V)}$ con il gruppo ortogonale ${\displaystyle O(V)}$, che è compatto. La grassmanniana risulta quindi compatta perché quoziente di un compatto. Nel caso complesso, si sceglie analogamente un prodotto hermitiano e si usa il gruppo unitario.

La compattezza testimonia il fatto seguente: una successione di ${\displaystyle k}$-sottospazi contiene sempre una sottosuccessione di elementi che convergono ad un preciso sottospazio. Questo fatto è quindi valido sia per i sottospazi vettoriali che per quelli proiettivi. Non è però vera nel caso affine a causa del parallelismo: una successione di piani paralleli sempre più lontani non ha nessuna sottosuccessione convergente.

Voci correlate

• Spazio proiettivo

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Grassmanniana, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Grassmanniana, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.

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