Logica polivalente

Le logiche polivalenti sono estensioni della logica classica in cui sono presenti più valori di verità rispetto ai canonici vero, falso e pertanto in esse non vale il principio del terzo escluso. Le prime logiche polivalenti furono proposte negli anni 1920 da Emil Post e da Jan Łukasiewicz e in esse erano presenti tre valori di verità: vero, falso, problematico.

Logiche ad infiniti valori di verità

Successivamente si è giunti a proporre logiche ad infiniti valori di verità quali:

• la logica ad infiniti valori di Lukasiewicz;
• la logica fuzzy di Lotfi Zadeh;
• la logica polivalente di Gödel;^[1]
• la logica L-fuzzy di Joseph Goguen;^[2]

Logica polivalente di Gödel

In tale formulazione si hanno le seguenti::

${\displaystyle x\,\operatorname {AND} \,y=min(v(x),v(y))}$

${\displaystyle x\,\operatorname {OR} \,y=max(v(x),v(y))}$

${\displaystyle \operatorname {NOT} \,x=1}$ se ${\displaystyle v(x)=0}$ e ${\displaystyle 0}$ altrimenti.

Logica polivalente prodotto

In tale formulazione si hanno le seguenti::

${\displaystyle x\,\operatorname {AND} \,y=v(x)v(y)}$

${\displaystyle x\,\operatorname {OR} \,y=v(x)+v(y)-v(x)v(y)}$

${\displaystyle \operatorname {NOT} \,x=1}$ se ${\displaystyle v(x)=0}$ e ${\displaystyle 0}$ altrimenti.

Logiche polivalenti e doppia negazione

È interessante osservare come nelle logiche "fuzzy" di Gödel e "fuzzy" prodotto si neghi il principio della doppia negazione, come anche nella logica intuizionista, al fine di mantenere vera la forma standard del principio di non-contraddizione. In particolare, a causa della particolare definizione dell'operatore NOT si hanno:

P → ¬¬P è un teorema

¬¬P → P non è teorema.

¬P → ¬¬¬P è un teorema.

¬¬¬P → ¬P è un teorema.

Logiche generiche. T-norma

Una T-norma o norma triangolare o AND generalizzato è una applicazione T: [0,1] × [0,1] → [0,1] che soddisfa i seguenti requisiti:

• Commutatività: T(a, b) = T(b, a);
• Monotonia: T(a, b) ≤ T(c, d) se a ≤ c e b ≤ d;
• Associatività: T(a, T(b, c)) = T(T(a, b), c);
• Elemento nullo: T(a, 0) = 0;
• 1 agisce come elemento identità: T(a, 1) = a.

Le t-norme sono state utilizzate per interpretare il connettivo di congiunzione.

Esempi di t-norme sono il minimo, il prodotto e la t-norma di Lukasiewicz definita da T(x,y)=max(0,x+y-1).

Se la t-norma è una funzione continua a sinistra, allora è possibile definire la funzione x → y = max { z: T(x,z) ≤ y } che può essere utilizzata per interpretare in connettivo di implicazione. Avendo a disposizione l'implicazione si può definire la negazione come ¬x = x → 0.

Nel caso in cui si parte dalla t-norma di Lukasiewicz, si ottiene: x → y = min{ 1, 1-x+y} (implicazione di Lukasiewicz) e ¬x = 1-x (negazione involutiva).

Nota che la negazione involutiva è tale che ¬¬x=x.

Note

1. (EN) Tim Lethen, "Gödel on many-valued logic" Cambridge University Press, 2021
2. (EN) Joseph Goguen "L-fuzzy sets" Journal of Mathematical Analysis and Applications Volume 18, Issue 1, April 1967, pp 145-174

Voci correlate

• Logica fuzzy
• principio del terzo escluso
• principio di bivalenza

Collegamenti esterni

• (EN) Petr Cintula, Christian G. Fermüller, Carles Noguera, Fuzzy logic, in Edward N. Zalta (a cura di), Stanford Encyclopedia of Philosophy, Center for the Study of Language and Information (CSLI), Università di Stanford.
• (EN) Siegfried Gottwald, Many-valued logic, in Edward N. Zalta (a cura di), Stanford Encyclopedia of Philosophy, Center for the Study of Language and Information (CSLI), Università di Stanford.

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