Martingala locale

In teoria della probabilità, una martingala locale è un tipo di processo stocastico che soddisfa una versione locale della proprietà delle martingale. I due concetti non coincidono: ogni martingala è una martingala locale, ma non vale il viceversa, anche se ogni martingala locale limitata è una martingala.

Definizione

Un processo stocastico reale e adattato X definito su uno spazio di probabilità filtrato ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},({\mathcal {F}}_{t})_{t\geq 0},\mathbb {P} )}$ è detto martingala locale se esiste una successione ${\displaystyle \tau _{n}:\Omega \to [0,+\infty )}$ di ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}$-tempi di arresto tale che:

• ${\displaystyle \tau _{n}}$ è quasi certamente crescente, ovvero ${\displaystyle \mathbb {P} (\tau _{n}\leq \tau _{n+1})=1}$
• la successione ${\displaystyle \tau _{n}}$ diverge quasi certamente.
• Il processo

${\displaystyle X_{t}^{\tau _{n}}:=X_{\min\{t,\tau _{n}\}}}$

è una ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}$-martingala per ogni n.^[1]

Note

1. Baldi, Paolo, p. 125.

Bibliografia

• Paolo Baldi, Equazioni differenziali stocastiche, Pitagora editrice, 2000, ISBN 9788837112110.

Voci correlate

• Martingala
• Semimartingala

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